vollst. Indukt bei Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Do 08.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Beweise mittels vollständiger Induktion:
2n [mm] \le 2^n [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich fange so an:
1. Induktionsanfang für n = 1:
2 [mm] \cdot{} [/mm] 1 [mm] \le 2^1
[/mm]
2 [mm] \le [/mm] 2 (w)
2. Induktionsschluss
a, Induktionsannahme: 2n [mm] \le 2^n [/mm] gilt für beliebiges n [mm] \in \IN
[/mm]
b, Induktionsbeweis für n -> n+1: Zu zeigen ist nun, dass 2(n+1) [mm] \le 2^{n+1} [/mm] gilt:
2(n+1) [mm] \le 2^{n+1}
[/mm]
2n+2 [mm] \le 2^n+2^n
[/mm]
Nun muss ich die Annahme ins Spiel bringen, also 2n [mm] \le 2^n, [/mm] wenn ich auf beiden Seiten zwei addiere, ändert sich nichts am Ergebnis 2n +2 [mm] \le 2^n [/mm] + 2.
Außerdem gilt 2 [mm] \le [/mm] 2n und laut Induktionsannahme 2n \ le [mm] 2^n [/mm] -> 2 [mm] \le 2^n
[/mm]
2n+2 [mm] \le 2^n+2^n [/mm] unter Berücksichtigung 2 [mm] \le 2^n
[/mm]
2n + 2 [mm] \le 2^n [/mm] + 2 [mm] \le 2^n+2^n
[/mm]
-> 2n [mm] \le 2^n
[/mm]
Wäre dies so richtig?
Ich habe Probleme damit, zwischen 2n+2 [mm] \le 2^n+2^n [/mm] und (Annahme) 2n [mm] \le 2^n [/mm] einen Zusammehang zu erkennen, damit der Induktionsschluss aufgeht.
Danke,
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Do 08.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweise mittels vollständiger Induktion:
>
> 2n [mm]\le 2^n[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> ich fange so an:
>
> 1. Induktionsanfang für n = 1:
>
> 2 [mm]\cdot{}[/mm] 1 [mm]\le 2^1[/mm]
> 2 [mm]\le[/mm] 2 (w)
>
> 2. Induktionsschluss
>
> a, Induktionsannahme: 2n [mm]\le 2^n[/mm] gilt für beliebiges n [mm]\in \IN[/mm]
>
> b, Induktionsbeweis für n -> n+1: Zu zeigen ist nun, dass
> 2(n+1) [mm]\le 2^{n+1}[/mm] gilt:
>
> 2(n+1) [mm]\le 2^{n+1}[/mm]
> 2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm]
>
> Nun muss ich die Annahme ins Spiel bringen, also 2n [mm]\le 2^n,[/mm]
> wenn ich auf beiden Seiten zwei addiere, ändert sich
> nichts am Ergebnis 2n +2 [mm]\le 2^n[/mm] + 2.
> Außerdem gilt 2 [mm]\le[/mm] 2n und laut Induktionsannahme 2n \ le
> [mm]2^n[/mm] -> 2 [mm]\le 2^n[/mm]
>
> 2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm] unter Berücksichtigung 2 [mm]\le 2^n[/mm]
>
> 2n + 2 [mm]\le 2^n[/mm] + 2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm]
>
> -> 2n [mm]\le 2^n[/mm]
>
> Wäre dies so richtig?
Formal ist das nicht korrekt. Du folgerst aus dem was Du zeigen sollst (2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm] ) etwas Richtiges ( 2n [mm]\le 2^n[/mm]). Das ist kein Beweis !
Beispiel: Behauptung: 1=0
"Beweis" :
1=0
+ 0=1
-------
1=1
Aus etwas falschem kann man also durchaus etwas richtiges schließen,
Zu Deiner Aufgabe.
n [mm] \to [/mm] n+1:
$2(n+1) = 2n+2 [mm] \le 2^n+2 \le 2^n+2^n [/mm] = [mm] 2*2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
FRED
>
> Ich habe Probleme damit, zwischen 2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm] und
> (Annahme) 2n [mm]\le 2^n[/mm] einen Zusammehang zu erkennen, damit
> der Induktionsschluss aufgeht.
>
> Danke,
> itse
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Do 08.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Kurze Frage zum Induktionsschluss:
> > Beweise mittels vollständiger Induktion:
> >
> > 2n [mm]\le 2^n[/mm]
> > 1. Induktionsanfang für n = 1:
> >
> > 2 [mm]\cdot{}[/mm] 1 [mm]\le 2^1[/mm]
> > 2 [mm]\le[/mm] 2 (w)
> >
> > 2. Induktionsschluss
> Zu Deiner Aufgabe.
>
> n [mm]\to[/mm] n+1:
>
> [mm]2(n+1) = 2n+2 \le 2^n+2 \le 2^n+2^n = 2*2^n = 2^{n+1}[/mm]
>
> FRED
Wenn man hier anstatt bei n=1 den Induktionsanfang bei n=0 gesetzt hätte, dann wäre die Folgerung [mm] 2^n+2 \le 2^n+2^n [/mm] ja falsch, denn 1+2=3 > 1+1=2. Würde man das Problem hier einfach lösen, indem man beim Induktionsanfang zeigt, dass es auch für n=1 gilt, und kann dann somit hier fordern, weil n [mm] \ge [/mm] 1 ist gilt die Gleichung...?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 08.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wenn man hier anstatt bei n=1 den Induktionsanfang bei n=0
> gesetzt hätte, dann wäre die Folgerung [mm]2^n+2 \le 2^n+2^n[/mm]
> ja falsch, denn 1+2=3 > 1+1=2. Würde man das Problem hier
> einfach lösen, indem man beim Induktionsanfang zeigt, dass
> es auch für n=1 gilt, und kann dann somit hier fordern,
> weil n [mm]\ge[/mm] 1 ist gilt die Gleichung...?
Exakt. Freds Induktionsschritt funktioniert nur für [mm] $n\ge [/mm] 1$. Wenn man die Aussage auch für 0 zeigen soll, kann man z.B. einfach den Induktionsanfang für n=0 und n=1 machen.
Gruß, Robert
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