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| Aufgabe | Bestimmen Sie: f°g und falls möglich g°f :
f : [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , f (x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2, [/mm] g : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] , g(x) = [mm] (x^2,2x,3x) [/mm] |
Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe Probleme mit vorzustellen, was es bedeutet, dieses Funktionen mit einander zu verketten..f wir ja vom [mm] \IR^3 [/mm] auf den [mm] \IR^1 [/mm] abgebildet, die funktion g aber genau andersherum..wie kann ich die beiden dann miteinander verketten? oder is das gar nicht möglich?
würde bei einer verkettung f°g einfach der term [mm] (x^2,2x,3x) [/mm] in das [mm] x^2 [/mm] der funktion f eingesetzt? aber was würde dass dann bedeuten?!? ich komme damit nicht zurecht, wie ich die funktionen aus [mm] \IR^1 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] verketten kann... oder kann man etwa nur g°f bilden? also:
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^2 [/mm] + [mm] 2(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] + [mm] 3(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)
[/mm]
?
wäre toll, wenn mir jemand zeigen könnte..wie ich mir das vorzustellen hab :)
liebe grüße, evakarlotta
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Fr 28.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
[mm] f\circ{g} [/mm] ist nicht anderes als f(g(x)), was du aus der Schule sicherlich kennst.
(Dazu lies mal: das hier)
f bildet ja einen Punkt aus dem [mm] \IR^{3} [/mm] (also mit drei Koordinaten x, y und z) auf einen Punkt in [mm] \IR [/mm] ab.
Also:
[mm] f\underbrace{\left(\vektor{x\\y\\z}\right)}_{\in\IR^{3}}=\underbrace{x²+y²+z²}_{\in\IR}
[/mm]
g dagegen bildet einen Punkt aus [mm] \IR [/mm] auf einen Punkt im [mm] \IR^{3} [/mm] ab, also ist das Bild ein Punkt mit drei Koordinaten.
[mm] g\underbrace{(x)}_{\in\IR}=\underbrace{\vektor{x²\\2x\\3x}}_{\in\IR^{3}}
[/mm]
Somit:
[mm] f\circ{g}
[/mm]
=f(g(x))
[mm] =f\left(\vektor{\red{x²}\\\green{2x}\\\blue{3x}}\right)
[/mm]
[mm] =(\red{x²})²+(\green{2x})²+(\blue{3x})²
[/mm]
=...
Heraus kommt ein Element aus [mm] \IR
[/mm]
Aber
[mm] g\circ{f}
[/mm]
=g(f(x,y,z))
[mm] =g(\green{x²+y²+z²})
[/mm]
[mm] =\vektor{(\green{x²+y²+z²})²\\2(\green{x²+y²+z²})\\3(\green{x²+y²+z²})}
[/mm]
=..
Heraus kommmt nun ein Element aus [mm] \IR^{3}
[/mm]
Marius
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danke schön! das war sehr anschaulich!
kann es denn aber auch vorkommen, dass eine verkettung nicht möglich ist? in der fragestellung steht ja, "falls möglich".. wann wäre dass dann der fall?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 28.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> danke schön! das war sehr anschaulich!
> kann es denn aber auch vorkommen, dass eine verkettung
> nicht möglich ist?
Yep, das kann sein.
> in der fragestellung steht ja, "falls
> möglich".. wann wäre dass dann der fall?
>
Lies dir mal den Link durch.
Nicht gehen würde z.B:
[mm] f:\IR\to\IR²
[/mm]
[mm] g:\IR\to\IR
[/mm]
Hier geht g(f(x)), da f einen Punkt in [mm] \IR [/mm] "ausgibt", und f diesen "verarbeiten" kann.
f(g(x)) ginge nicht, da g mit der "Ausgabe" von f (aus [mm] \IR²) [/mm] nichts anfangen kann.
Mathematischer ausgedrückt, steht das auch in dem Link.
Marius
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müsste es dann nicht eher so sein, dass f(g(x)) geht und f(g(x)) nicht?
da ja aus g ein punkt im [mm] \IR [/mm] folgt, denn f(x) dann in den [mm] \IR^2 [/mm] weiterverabreiten kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Fr 28.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hast recht.
Aber du hast das Prinzip ja verstanden 
Marius
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