\varphi-Funktion rückwärts < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Zahlen n mit [mm] \varphi(n)=24. [/mm] |
Hallo,
gibt es hierfür eine sinnvolle Methode? Was ich bisher weiß:
Ist [mm] n=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{e_{i}} [/mm] mit Primzahlen [mm] p_{1}<...
Dann gilt: [mm] \varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{e_{i}}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right)=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right).
[/mm]
Demnach muss gelten: [mm] 24=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right).
[/mm]
Aber damit kann ich jetzt auch nur raten, für welche n das passt.
Kann ich noch irgendwas mit der Primfaktorzerlegung von [mm] 24=2^3\cdot 3 [/mm] machen?
Gruß Sleeper
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Hallo Sleeper,
die Definitionen hast Du ja.
Es fällt Dir leichter, alle möglichen n zu bestimmen, wenn Du [mm] \varphi(n) [/mm] etwas anders schreibst:
[mm] \varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{e_{i}}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right)=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right)=\blue{\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{e_{i}-1}(p_{i}-1)}
[/mm]
Dann hast Du keine Brüche mehr, und wie Du ja schon festgestellt hast, gibt es nur ganz überschaubare Möglichkeiten, 24 in Faktoren zu zerlegen.
Der Schlüssel liegt hier in den Faktoren [mm] (p_i-1). [/mm] Wenn ein solcher Faktor z.B. 6 ist, [mm] p_a [/mm] also 7, dann weißt Du auch, dass [mm] e_a [/mm] nur 1 sein kann, da die 7 ja kein Teiler von 24 ist. Du weißt auch, dass wenn die 3 ein Teiler von n ist (egal in welcher Potenz), [mm] \varphi [/mm] dadurch genau einen Faktor 2 enthalten muss. Und schließlich ist [mm] (p_i-1) [/mm] eine gerade Zahl, außer für [mm] p_i=2.
[/mm]
Damit hast Du doch eine Menge Material, um die paar Zerlegungen zu überprüfen.
Wenn Du magst, nenn doch mal die Zahlen, für die [mm] \varphi(n)=24 [/mm] gilt - oder ihre Faktorisierung.
Viel Erfolg
reverend
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Gut danke. Ich hab also versucht die Formel rückwärts anzuwenden und komme insgesamt zu:
[mm] n\in \{35,\,39,\,52,\,70,\,72\}. [/mm] Für die alle stimmt es auch. Habe ich eine Zahl vergessen?
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> Gut danke. Ich hab also versucht die Formel rückwärts
> anzuwenden und komme insgesamt zu:
> [mm]n\in \{35,\,39,\,52,\,70,\,72\}.[/mm] Für die alle stimmt es
> auch. Habe ich eine Zahl vergessen?
Ich habe noch nicht nahgerechnet aber mir fehlt da die 78. Denn es gilt
[mm] \varphi(78) [/mm] = [mm] \varphi(2) \* \varphi(39) [/mm] = 1 [mm] \* \varphi(39) [/mm] = 24
Diese multiplikativität [mm] \varphi(m) [/mm] = [mm] \varphi(m_1 \*m_2) [/mm] = [mm] \varphi(m_1) \* \varphi(m_2) [/mm] gilt für [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] teilerfremd.
Ob es sonst stimmt kann ich noch nicht sagen.
Gruß Dom
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Mo 23.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo dominik88,
> Ich habe noch nicht nahgerechnet aber mir fehlt da die 78.
Gut beobachtet!
> Ob es sonst stimmt kann ich noch nicht sagen.
Ah, Du löst noch. Dann fang ich mal noch gar nicht damit an. 
lg
reverend
PS: Stimmt Dein Alter im Profil noch oder bist Du inzwischen 21?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Mo 23.11.2009 | | Autor: | dominik88 |
Offtopic: Ich bin inzwischen 21 Jahre alt, bin aber erst seit heute wieder aktiv und habe es deshalb noch nicht geändert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Mo 23.11.2009 | | Autor: | reverend |
Ah - dann: schön, dass du wieder da bist!
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> Gut danke. Ich hab also versucht die Formel rückwärts
> anzuwenden und komme insgesamt zu:
> [mm]n\in \{35,\,39,\,52,\,70,\,72\}.[/mm] Für die alle stimmt es
> auch. Habe ich eine Zahl vergessen?
Also ich komme nun auf folgende Zahlen
35 , 39 , 45 , 52 , 70 , 78 und 90
die 45 und 90 kommen bei mir mit folgenden Primzahlen zu stande.
45 = 5 [mm] \* 3^2 [/mm] und die 90 einfach mit 2 multipliziert siehe 78
[mm] \varphi(45) [/mm] = [mm] \varphi(3^2) \* \carphi(5) [/mm] = 6 [mm] \* [/mm] 4 = 24
Gruß Dom
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mo 23.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
[mm] \varphi(72)=\varphi(2^3*3^2)=\varphi(2^3)*varphi(3^2)=2^2*(2-1)*3^1*(3-2)=2^2*3*2=24
[/mm]
Die 72 war also auch richtig.
Das sieht dann soweit vollständig aus, aber ich schau nochmal selbst...
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mo 23.11.2009 | | Autor: | dominik88 |
offtopic(ist wohl anscheinend schon zu spät)
Ja die 72 ist auch drinnen, habe sie nur vergessen zu übertragen
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