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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | toros |
hallo,
ich hab die gleichung zuerst per vektorschreibweise umgeformt
[mm] \ddot{\vec{u}}\left(\vec{R}_i\right)=-\sum_{j}^6\left(\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)-\vec{u}\left(\vec{R}_j\right)\right)
[/mm]
mit
[mm] \vec{u}\left(\vec{R}_i\right)=e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}
[/mm]
ergibt
[mm] \omega^2e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}=\sum_{j}^6\left(e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}-e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_j-\omega t\right)}\right)\rightarrow\omega^2=\sum_{j}^6\left(1-e^{i\vec{q}\left(\vec{R}_j-\vec{R}_i\right)}\right) [/mm]
und dann komponentenweise [mm] (\mu,\nu=x,y)
[/mm]
[mm] \ddot{u}_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)=-\sum_{j,\nu}^6\left(u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right)
[/mm]
mit
[mm] u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)=e^{i\left(q_{\mu}R_{i\mu}-\omega t\right)}
[/mm]
ergibt
[mm] \omega^2=\sum_{j,\nu}^6\left(1-e^{iq_{\nu}\left(R_{j\nu}-R_{i\nu}\right)}\right)e^{i\left(q_{\nu}R_{i\nu}-q_{\mu}R_{i\mu} \right)}
[/mm]
jetzt kommt hier aber nicht das gleiche raus wie oben! es sollte in beiden fällen aber immer das gleiche rauskommen, oder?? kann mir da einer bitte weiterhelfen?
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Auch wenn ich die physikalischen Hintergründe nicht kenne, fällt mir doch etwas auf.
[mm] \vec{u}\left(\vec{R}_i\right)(t)=e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}
[/mm]
dann ist
[mm] \ddot{\vec{u}}\left(\vec{R}_i\right)(t)= (-i*\omega)*(-i*\omega)*e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i- \omega t\right)}= -\omega^2*e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i- \omega t\right)}
[/mm]
und
[mm] \sum_{j}^6\left(e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}-e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_j-\omega t\right)}\right)
[/mm]
= [mm] \sum_{j}^6\left(e^{i\vec{q}\vec{R}_i}*e^{-i\omega t}-e^{i\vec{q}\vec{R}_j}*e^{-i\omega t}\right)= e^{-i\omega t}*\sum_{j}^6\left(e^{i\vec{q}\vec{R}_i}-e^{i\vec{q}\vec{R}_j} \right) [/mm]
Ciao.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:37 Mo 31.03.2008 | | Autor: | toros |
hi,
genau das hab ich ja bei der vektorschreibweise auch raus! das minuszeichen kürzt sich weg und dann noch auf beiden seiten durch [mm] e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i- \omega t\right)} [/mm] geteilt. leider kommt bei der komponentenschreibweise immernoch was anderes raus...
gruss toros
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mi 02.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 01.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> und dann komponentenweise [mm](\mu,\nu=x,y)[/mm]
>
> [mm]\ddot{u}_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)=-\sum_{j,\nu}^6\left(u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right)[/mm]
Wie kommst du da drauf? Du hast eine Vektorgleichung, also musst du die einzelnen Komponenten gleichsetzen.
> mit
>
> [mm]u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)=e^{i\left(q_{\mu}R_{i\mu}-\omega t\right)}[/mm]
Links steht eine Komponente deines Vektor, rechts ein Teil der e-Funktion. Das passt überhaupt nicht zusammen.
Vielleicht meinst du ja was Anderes, aber so ergibt das keinen Sinn.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 01.04.2008 | | Autor: | toros |
hi rainer
> Wie kommst du da drauf? Du hast eine Vektorgleichung, also
> musst du die einzelnen Komponenten gleichsetzen.
du meinst wohl [mm] \ddot{u}_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)=-\sum_{j,\nu}^6\left(u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right), [/mm] richtig?
> Links steht eine Komponente deines Vektor, rechts ein Teil
> der e-Funktion. Das passt überhaupt nicht zusammen.
>
> Vielleicht meinst du ja was Anderes, aber so ergibt das
> keinen Sinn.
es gilt ja [mm] \vec{u}\left(\vec{R}_i\right)=\vec{\epsilon}\,e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)} [/mm] (das [mm] \vec{\epsilon} [/mm] hab ich oben weggelassen). jetzt wollte ich den vektor [mm] \vec{u}\left(\vec{R}_i\right) [/mm] komponentenweise schreiben. ist es so [mm] u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)=\epsilon_{\mu}\,e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)} [/mm] richtig?
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Di 01.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi rainer
>
>
> > Wie kommst du da drauf? Du hast eine Vektorgleichung, also
> > musst du die einzelnen Komponenten gleichsetzen.
>
> du meinst wohl
> [mm]\ddot{u}_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)=-\sum_{j,\nu}^6\left(u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right),[/mm]
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Links steht eine Komponente deines Vektor, rechts ein Teil
> > der e-Funktion. Das passt überhaupt nicht zusammen.
> >
> > Vielleicht meinst du ja was Anderes, aber so ergibt das
> > keinen Sinn.
>
> es gilt ja
> [mm]\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)=\vec{\epsilon}\,e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}[/mm]
> (das [mm]\vec{\epsilon}[/mm] hab ich oben weggelassen). jetzt wollte
> ich den vektor [mm]\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)[/mm]
> komponentenweise schreiben. ist es so
> [mm]u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)=\epsilon_{\mu}\,e^{i\left(\vec{q}\vec{R}_i-\omega t\right)}[/mm]
> richtig?
Ja so meinte ich das.
Viele Grüße
Rainer
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