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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pavelle |
| Aufgabe | gesucht ist die allgemeine Lösung von:
y'=1+y²
Musterlösung: y(x)=tan(x+C) |
Mein Lösungsansatz:
[mm] \frac{dy}{dx}=1+y^2 \Rightarrow \frac{1}{1+y^2}dy=dx [/mm]
Substitution: [mm] u=1+y^2 [/mm] u'=2y [mm] \frac{du}{dy}=2y \Rightarrow dy=\frac{du}{2y}
[/mm]
[mm] \int \! \frac{1}{u^2} [/mm] * [mm] \frac{1}{2y} \, [/mm] du
ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter, vorallem wie ich 1/2y behandeln soll, als Konstante? Eher nicht.
Für alle Tipps und Hilfestellungen bin ich euch dankbar
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Hallo,
> gesucht ist die allgemeine Lösung von:
> y'=1+y²
>
> Musterlösung: y(x)=tan(x+C)
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]\frac{dy}{dx}=1+y^{2} \Rightarrow \frac{1}{1+y^2}dy=dx[/mm]
Bis hierher ist alles wunderbar.
> Substitution: [mm]u=1+y^2[/mm] u'=2y [mm]\frac{du}{dy}=2y \Rightarrow dy=\frac{du}{2y}[/mm]
>
> [mm]\int \! \frac{1}{u^2}[/mm] * [mm]\frac{1}{2y} \,[/mm] du
>
>
> ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter, vorallem wie
> ich 1/2y behandeln soll, als Konstante? Eher nicht.
Nein, du darst es natürlich nicht als Konstante behandeln, es hängt ja von u ab.
(und u hängt auch von y ab).
Auf diesem Wege wirst du leider nicht zum Ziel kommen. Du musst wissen, dass
[mm] $\integral{\frac{1}{1+x^{2}} dx} [/mm] = arctan(x) + c$
ist. Wenn du es noch nicht wusstest, weißt du es jetzt  .
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pavelle |
hehe ok
so Fälle gibt es sicherlich öffters, wüsstest du eventuell ein Buch oder Formelsammlung bzw könntest du mir eins empfehlen in dem solche aufgelistet sind?
Gruß
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Hallo,
so häufig sind die Fälle nun auch wieder nicht .
Es ist eben bloß problematisch bei diesen Winkelfunktionen, weil manchmal braucht man auch für's Substituieren diese Ableitungen.
Hier die wichtigsten:
$arctan'(x) = [mm] \frac{1}{1+x^{2}}$
[/mm]
$arcsin'(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
[/mm]
$arccos'(x) = [mm] -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
[/mm]
Das war's eigentlich schon. Auf die Ableitungen dieser Funktionen kannst du übrigens auch "selbst" kommen, indem du die Umkehrregel für's Differenzieren anwendest:
![[]](/images/popup.gif) Hier
Nur muss man eben den Ausdruck auf der "rechten Seite" mal gesehen haben, damit man das Integral lösen kann.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pavelle |
ok, danke dir 
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