unendliche Linearkombinationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 11.10.2006 | | Autor: | AlthePal |
Guten Abend zusammen.
Ich habe ein paar Fragen und hoffe, dass Ihr mir helfen könnt.
Ist [mm] exp(T) \in \mathbb{R}[T] := \mathbb{R}^\mathbb{N} [/mm] (der Polynomring über [mm] \mathbb{R} [/mm]), wobei [mm] 0_\mathbb{R}[T] := (0,0,...,0,...) , 1_\mathbb{R}[T] := (1,0,...,0,...) , T := (0,1,0,...,0,...) [/mm]? Müsste doch eigentlich, denn
[mm] exp(T) = \sum_{k=0}^\infty \frac{T^k}{k!} = \frac{1}{0!}*(1,0,...,0,...)+ \frac{1}{1!}*(0,1,0,...,0,...)+ \frac{1}{2!}*(0,0,1,0,...,0,...)+...[/mm].
Und wie sieht es aus, wenn ich [mm] (\mathbb{R}[T], +, *) [/mm] als [mm] \mathbb{R}[/mm]-Vektorraumauffasse? Linearkombinationen sind doch nur über endliche Teilmengen definiert.
Wie kann man abzählbare oder sogar überabzählbare Linearkombinationen in einem unendlichdimensionalen Vektorraum definieren, bzw. wie definiert man sie? (z.B. auch in [mm] L^p[/mm]-Räumen o.ä.) Muss solch ein VR immer eukl. oder unitär sein?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß.
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In Vektorräumen ist prinzipiell nur die Bildung endlicher Summen möglich. "Unendliche Linearkombinationen" existieren nicht. Das heißt nun nicht, daß es in gewissen Räumen nicht auch "unendliche Summen" gibt, aber sie rühren nicht eigentlich von der Vektorraumstruktur her, sondern haben etwas mit der aufgeprägten Topologie und dem ihr entspringenden Grenzwertbegriff zu tun.
Schon in [mm]\mathbb{R}[/mm] werden ja unendliche Summen, besser: unendliche Reihen, als Grenzwerte der Partialsummen definiert. Die Partialsummen sind aber gewöhnliche endliche Summen. Und im übrigen brauchen ja auch die Grenzwerte gar nicht zu existieren ...
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