unendlich viele Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die kongruent 3 modulo 4 sind. ( Verwenden sie eine Variante des Arguments von Euklid, dass zeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt ).
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Guten Morgen!
Ich habe hier eine Lösung diese Aufgabe und habe leider vieles nicht verstanden. Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann, denn so eine Aufgabenstellung kommt in einem Prüfungsprotokoll vor und es wäre nett, dies zu verstehen...
Lösung :
Angenommen es ex. nur n viele Primzahlen [mm] p_1, ... , p_n [/mm] mit
der Eigenschaft [mm] p \equiv 3 \mod 4 [/mm].
Dann gilt [mm] p_1^2 \cdot ... \cdot p_n^2 \equiv 1 \mod 4 [/mm]
Denn : [mm] p_1^2 \cdot ... \cdot p_n^2 = ( 4l_1 + 3 )^2 \cdot ... \cdot (4l_n + 3)^2 , l_i \in \mathbb Z [/mm]
[mm] = a_1 + ... + a_m + p^n [/mm] ( mit [mm] a_j \equiv 0 \mod 4 [/mm])
[mm] = a_1 + ... + a_m + ( 8 + 1 )^n [/mm]
[mm] = a_1 + ... + a_m + b_1 + ... + b_r + 1^n [/mm] ( mit [mm] a_j \equiv 0 \mod 4 , b_r \equiv 0 \mod 4 [/mm])
[mm] \Rightarrow ( p_1 \cdot ... \cdot p_n )^2 + 2 \equiv 3 \mod 4 [/mm]
Sei nun [mm] M := ( p_1 \cdot ... \cdot p_n )^2 + 2 [/mm]
Nun gilt entweder :
1) M ist eine Primzahl
[mm] \Rightarrow M \notin \{ p_1, ... , p_n \} [/mm] und [mm] M \equiv 3 \mod 4 [/mm], also Widerspruch zur Annahme
oder
2) M ist keine Primzahl
[mm] [mm] \Rightarrow [/mm] M lässt sich in Primzahlen [mm] p_{i1} ,..., p_{is} [/mm] zerlegen und es ex ein [mm] p_{it} , t \in \{1, ..., s \} [/mm] mit
[mm] p_{it} \ | \ M [/mm] und [mm] p_{it} \equiv 3 \mod 4 [/mm].
( Frage: Warum existiert dann so ein [mm] p_{it} [/mm] mit diesen Eigenschaften? )
Denn angenommen [mm] M = p_{i1} \cdot ... \cdot p_{is} [/mm] und
[mm] p_{il} \equiv 1 \mod 4 \ l = 1, ..., s [/mm]
[mm] \Rightarrow M = (4 k_1 + 1 ) \cdot ... \cdot (4 k_s + 1 ) [/mm]
[mm] = c_1 + ... + c_v +1 \ \ , c_n \equiv 0 \mod 4 [/mm]
[mm] \Rightarrow M \equiv 1 \mod 4 [/mm]
Und für [mm] p_{iw} = 2 , \ w \in \{ 1, ... , s \} [/mm] wäre [mm] M \equiv 2\mod 4 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
( 3. Frage: Ich kann ab 2) M ist keine Primzahl ..... die Folgerungen leider icht nachvollziehen. Vielleicht ist es möglich mir das zu verdeutlichen.... )
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die
> kongruent 3 modulo 4 sind. ( Verwenden sie eine Variante
> des Arguments von Euklid, dass zeigt, dass es unendlich
> viele Primzahlen gibt ).
Mahlzeit Irmchen!
> Ich habe hier eine Lösung diese Aufgabe und habe leider
> vieles nicht verstanden. Ich hoffe, dass mir jemand dabei
> helfen kann, denn so eine Aufgabenstellung kommt in einem
> Prüfungsprotokoll vor und es wäre nett, dies zu
> verstehen...
>
> Lösung :
>
> Angenommen es ex. nur n viele Primzahlen [mm]p_1, ... , p_n[/mm] mit
> der Eigenschaft [mm]p \equiv 3 \mod 4 [/mm].
>
> Dann gilt [mm]p_1^2 \cdot ... \cdot p_n^2 \equiv 1 \mod 4 [/mm]
Das ist klar durch Rechnung mod 4.
> [mm]\Rightarrow ( p_1 \cdot ... \cdot p_n )^2 + 2 \equiv 3 \mod 4[/mm]
ditto
> Sei nun [mm]M := ( p_1 \cdot ... \cdot p_n )^2 + 2 [/mm]
>
> Nun gilt entweder :
>
> 1) M ist eine Primzahl
> [mm]\Rightarrow M \notin \{ p_1, ... , p_n \}[/mm] und [mm]M \equiv 3 \mod 4 [/mm],
> also Widerspruch zur Annahme
>
> oder
>
> 2) M ist keine Primzahl
>
> [mm][mm]\Rightarrow[/mm] M lässt sich in Primzahlen [mm]p_{i1} ,..., p_{is}[/mm] zerlegen und es ex ein [mm]p_{it} , t \in \{1, ..., s \}[/mm] mit
[mm]p_{it} \ | \ M[/mm] und [mm]p_{it} \equiv 3 \mod 4 [/mm].
( Frage: Warum existiert dann so ein [mm]p_{it}[/mm] mit diesen Eigenschaften? )
Wenn alle kongruent 1 wären, wäre das Produkt auch kongruent 1 (wieder Rechnung mod 4)
Denn angenommen [mm]M = p_{i1} \cdot ... \cdot p_{is}[/mm] und
[mm]p_{il} \equiv 1 \mod 4 \ l = 1, ..., s[/mm]
[mm]\Rightarrow M = (4 k_1 + 1 ) \cdot ... \cdot (4 k_s + 1 )[/mm]
[mm]= c_1 + ... + c_v +1 \ \ , c_n \equiv 0 \mod 4[/mm]
[mm]\Rightarrow M \equiv 1 \mod 4 [/mm]
Hier fehlt noch der Hinweis, daß dieses [mm] p_{iw} [/mm] keines der schon bekannten p's ist
Und für [mm]p_{iw} = 2 , \ w \in \{ 1, ... , s \}[/mm] wäre [mm]M \equiv 2\mod 4[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Mahlzeit Dieter! 
Dankeschön!
Viele Grüße
Irmchen
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