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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 25.01.2009 | | Autor: | Marizz |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{2n}-3^{2n+1}}{10^{n-1}} [/mm] |
Ich habe ein paar solcher Aufgaben auf, habe die meisten bisher gelöst und sie anschließend mit einem G-Taschenrechner überprüft. Bei dieser Aufgabe jedoch gibt er mir keinen Wert, sondern wandelt die Reihe nur etwas um...
Ich habe die Eigenschaft der unendlichen geometrischen Reihe benutzt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
also die Reihe so umgeformt, dass rauskommt:
[mm] \summe_{k=o}^{\infty} 10*(\bruch{4}{10})^n [/mm] - [mm] \summe_{k=o}^{\infty} 30*(\bruch{9}{10})^n [/mm] -10 - 30 = [mm] 10*\bruch{1}{1-\bruch{4}{10}} [/mm] - [mm] 30*\bruch{1}{1-\bruch{9}{10}} [/mm] -40 = -970/3
kann mir jemand sagen, ob das nun richtig ist?
*tut mir leid für den der grad reserviert, habe ein paar tippfehler verbessert
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Hallo!
> [mm]\summe_{k=o}^{\infty} 10*(\bruch{4}{10})^n[/mm] +
> [mm]\summe_{k=o}^{\infty} 30*(\bruch{9}{10})^n[/mm] -10 - 30 =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{4}{10}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{1-\bruch{9}{10}}[/mm]
> -40 = -85/3
Dein Vorgehen ist zwar richtig, aber leider stimmt die Umformung vom Bruch in die Teilsummen nicht. Es müsste lauten:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{2^{2n}-3^{2n+1}}{10^{n-1}}\right) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 10*\left(\bruch{4}{10}\right)^n \red{-} \summe_{k=o}^{\infty} 30*\left(\bruch{9}{10}\right)^n$
[/mm]
Einerseits muss da ein Minus in der Mitte stehen, und andererseits weiß ich nicht wieso du danach noch 10 bzw. 30 abziehst...
Das richtige Ergebnis muss lauten: [mm] $-\bruch{850}{3}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 25.01.2009 | | Autor: | Marizz |
Danke Stefan,
es tut mir leid ich habe bemerkt dass ich eine wichtige Angabe nicht gemacht habe, und zwar dass in der Aufgabenstellung die Summe bei k=1 beginnt,
wie du siehst das + habe ich auch zu minus verbessert
:( hätte es sorgfältiger machen müssen bevor ichs abschick, sorry
Denkst du dass es jetz richtig ist?
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Es ist
$\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{2^{2n}-3^{2n+1}}{10^{n-1}}=-\bruch{790}{3}$.
Du musst aufpassen, dass du die 30 nicht abziehst, sondern dazurechnen musst (Weil ja die zweite Summe negatives Vorzeichen hat)!
$ \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{2^{2n}-3^{2n+1}}{10^{n-1}}\right) = \summe_{n=1}^{\infty} 10\cdot{}\left(\bruch{4}{10}\right)^n - \summe_{n=1}^{\infty} 30\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^n =\summe_{n=0}^{\infty} 10\cdot{}\left(\bruch{4}{10}\right)^n - \summe_{n=0}^{\infty} 30\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^n -10 + 30$
Und zu deiner Anwendung der geometrischenReihen-Formel: Vergiss nicht das Anfangsglied, zumindest in deiner Rechnung steht nichts davon dass eigentlich
$\summe_{n=0}^{\infty} 10\cdot{}\left(\bruch{4}{10}\right)^n = \red{10}*\bruch{1}{1-\bruch{4}{10}}$
ist (entsprechend bei der anderen Summe). Dann dürftest du aber aufs richtige Ergebnis (siehe oben) kommen.
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 25.01.2009 | | Autor: | Marizz |
Ja jetz hab ichs raus!!
Danke dir :)
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