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| Aufgabe | | exisitert das integral von minus unendlich bis plus unendlich über 1/(1 + [mm] x^4) [/mm] |
hi,
also mir ist bekannt, dass das integral existiert, da [mm] x^2 [/mm] * f(x) beschränkt ist (wobei f(x) hierbei die innere funktion aus dem integral ist)
allerdings halte ich die begründung nicht für ausreichend genau, und würde daher lieber das majorantenkriterium benutzen.
das integral ex. also, wenn eine konvergente majorante für f ex.
sei [mm] 1/x^4 [/mm] diese majorante. dann ist mir klar, dass das integral für |x| >= 1 existiert (kann ich ne stammfunktion angeben etc)
wie aber krieg ich das für |x| < 1 hin??
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Hallo,
würde es nicht ausreichen, für |x|> 1 mit dem Majorantenkriterium zu argumentieren und dazwischen einfach mit der Stetigkeit von f?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 29.07.2011 | | Autor: | w3rk3rhund |
naja, klingt in meinen ohren ganz plausibel... danke!
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aber wenn ich zb das integral über 1/(x+1) nehme,
ist 1/x die majorante aber haut im punkt 0 unstetig gegen unendlich ab...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Fr 29.07.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] \frac{1}{x+1} [/mm] ist auch ein schlechtes Beispiel, eben weil es nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist. Aber denke mal z.B. bei deiner gegebenen Funktion an die Funktion [mm] \frac{1}{1+x^2}. [/mm] Von der kennst du die Stammfunktion (und auch damit den Wert des uneigentlichen Integrals von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty).
[/mm]
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> exisitert das integral von minus unendlich bis plus
> unendlich über 1/(1 + [mm]x^4)[/mm]
> hi,
> also mir ist bekannt, dass das integral existiert, da [mm]x^2[/mm]
> * f(x) beschränkt ist (wobei f(x) hierbei die innere
> funktion aus dem integral ist)
> allerdings halte ich die begründung nicht für
> ausreichend genau, und würde daher lieber das
> majorantenkriterium benutzen.
> das integral ex. also, wenn eine konvergente majorante
> für f ex.
> sei [mm]1/x^4[/mm] diese majorante. dann ist mir klar, dass das
> integral für |x| >= 1 existiert (kann ich ne stammfunktion
> angeben etc)
> wie aber krieg ich das für |x| < 1 hin??
Hallo,
für |x| < 1 (und sowieso für alle x) ist doch $\ [mm] \left|\frac{1}{1+x^4}\right|\ \le\ [/mm] 1$
LG
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hm ja aber wenn ich das sauber notieren will mit dem majorantenkriterium, geht das dann auch. oder soll ich dann f(x) = 2 als alibi majorante nehmen?
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> hm ja aber wenn ich das sauber notieren will mit dem
> majorantenkriterium, geht das dann auch. oder soll ich dann
> f(x) = 2 als alibi majorante nehmen?
Was heißt da Alibi ?
Setze doch
$M(x)\ =\ [mm] \mbox{\Large{ \begin{cases} 1 & (|x|<1) \\ \frac{1}{x^4} & (|x|\ge1) \end{cases}}}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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muss man fürs majorantenkriterium nicht eine einzige stetige majorante angeben, die für alles x konvergiert und nicht eine abschnittsweise definierte funktion?
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Hallo w3rk3rhund,
> muss man fürs majorantenkriterium nicht eine einzige
> stetige majorante angeben, die für alles x konvergiert und
> nicht eine abschnittsweise definierte funktion?
Du kannst sehr wohl als Majorante eine
abschnittsweise definierte Funktion angeben.
Gruss
MathePower
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