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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 09.05.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Untersuchen Sie den folgenden uneigentlichen Integral, ohne diesen zu berechnen:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] |
Habe zuerst das Integral in zwei Teile aufgespalten:
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
Nun muss ich ja für jeden der beiden Teilintegralle eine konvergente Majorante finden (Abschätzen).
Habe rum probiert und bin aus folgendes gekommen:
[mm] \limes_{t\rightarrow -\infty} \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{e^{x^{2}}} dx} [/mm] < [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty} \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{e^{x^{3}}}{e^{x}} dx} [/mm]
Ist die Abschätzung so in Ordnung?
Oder geht es noch einfacher?
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Hallo zoj,
> Untersuchen Sie den folgenden uneigentlichen Integral, ohne
> diesen zu berechnen:
> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
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> Habe zuerst das Integral in zwei Teile aufgespalten:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
Ok, das ist sicher richtig!
>
> Nun muss ich ja für jeden der beiden Teilintegralle eine
> konvergente Majorante finden (Abschätzen).
> Habe rum probiert und bin aus folgendes gekommen:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty} \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{e^{x^{2}}} dx}[/mm] < [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty} \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{e^{x^{3}}}{e^{x}} dx}[/mm]
>
> Ist die Abschätzung so in Ordnung?
Nein, das ergibt überhaupt keinen Sinn!
Was für einen Limes meinst du da?
Ich mache mal einen Vorschlag für das Integral [mm]\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{1}{e^{x^2}} \ dx}[/mm]
Das teile auf in [mm]\int\limits_{0}^1{\frac{1}{e^{x^2}} \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{e^{x^2}} \ dx}[/mm]
Auf dem kompakten Intervall [mm][0,1][/mm] ist [mm]\frac{1}{e^{x^2}}[/mm] stetig, nimmt also sein Maximum an, dadurch kannst du das erste Integral abschätzen (bzw. sagen, dass es endlich ist)
Für das zweite Integral bedenke, dass für [mm]x\ge 1[/mm] gilt: [mm]x^2\ge x[/mm]
Nutze das und die Tatsache, dass die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, damit findest du eine konvergente Majorante.
Welche genau und welchen leicht zu berechnenden Wert hat sie?
Für das andere Integral analog oder nutze, dass der Integrand [mm]\frac{1}{e^{x^2}}[/mm] achsensymmetrisch zur y-Achse ist ...
> Oder geht es noch einfacher?
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 11.05.2011 | | Autor: | zoj |
OK, habe die Aufgabe gelöst.
wegen Symmetrie:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] = $ [mm] 2*\integral_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] $
[mm] 2*\integral_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] = 2* ( [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] )
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] existiert.
Jetzt das zweite Integral abschätzen:
[mm] \integral_{1}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} \le \integral_{1}^{+\infty}{e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}|-e^{-x}|^{t}_{1} [/mm] = [mm] (-e^{-t}+e^{-1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
Habe ich es soweit richtig?
Noche eine allgemeine Frage zu diesem Thema:
Kann ich auch per Gegenbeispiel zeigen, dass das Integral divergiert, indem ich eine divergente Minorante finde?
Denn wenn die Minorante divergiert, so muss ja auch das Integral divergieren. Oder?
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Moin,
> OK, habe die Aufgabe gelöst.
>
> wegen Symmetrie:
> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] = [mm]2*\integral_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> [mm]2*\integral_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] = 2* ( [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] )
> [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] existiert.
...da [mm] e^{-x^2} [/mm] stetig auf [0,1] und somit Maximum und Minimum annimmt.
>
> Jetzt das zweite Integral abschätzen:
> [mm]\integral_{1}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} \le \integral_{1}^{+\infty}{e^{-x} dx}[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}|-e^{-x}|^{t}_{1}[/mm] = [mm]\red{\lim_{t\to\infty}}(-e^{-t}+e^{-1})[/mm] = [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
> Habe ich es soweit richtig?
Sonst ok.
>
> Noche eine allgemeine Frage zu diesem Thema:
> Kann ich auch per Gegenbeispiel zeigen, dass das Integral
> divergiert, indem ich eine divergente Minorante finde?
> Denn wenn die Minorante divergiert, so muss ja auch das
> Integral divergieren. Oder?
Wenn du meinst, dass die Minorante gegen [mm] +\infty [/mm] divergiert, dann stimmt das.
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 12.05.2011 | | Autor: | zoj |
Super, danke für die Hilfe!
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