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| Aufgabe | i) Existiert das uneigentliche Integral? Wenn ja, berechnen sie den Wert.
[mm] \integral_{0}^{\infty}x e^-^2^x\, [/mm] dx
ii) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral konvergiert, und bestimmen Sie seinenn Wert.
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{\wurzel{x} \wurzel{1-x}} \, [/mm] dx |
Hallo an alle,
Generell habe ich Probleme mit dem Begriff des uneigentlichen Integrals!
Ich schreibe mal auf, was ich glaube verstanden zu haben:
Also, ein uneigentliches Integral liegt immer dann vor, wenn eine oder beide Integrationsgrenzen unbeschränkt sind, oder wenn die Funktion in einem beschränkten Intervall unbegrenzt ist ( wenn also die Funktion an einer Stelle in dem Intervall eine Polstelle hat).
Ist das richtig so?!
Falls das so stimmt, frage ich mich, ob ich bei beiden Aufgabentypen vom Prinzip her gleich vorzugehen habe?! Und wenn ja wie? Vielleicht kann mir das jemand einmal an den oben beschriebenen Aufgaben etwas näher erläutern. In der Vorlesung habe ich nur eine Definition des uneigentlichen Integrals gefunden, aus der ich aber nicht schlau werde und die mir auch beim Bearbeiten der Aufgaben nicht wirklich weiterhilft.
Wäre wirklich toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank schon mal und viele Grüße. Das schlumpfinchen.
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Hallo schlumpfinchen,
> i) Existiert das uneigentliche Integral? Wenn ja, berechnen
> sie den Wert.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}x e^-^2^x\,[/mm] dx
>
> ii) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
> konvergiert, und bestimmen Sie seinenn Wert.
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{1}{\wurzel{x} \wurzel{1-x}} \,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx
> Hallo an alle,
>
> Generell habe ich Probleme mit dem Begriff des
> uneigentlichen Integrals!
>
> Ich schreibe mal auf, was ich glaube verstanden zu haben:
> Also, ein uneigentliches Integral liegt immer dann vor,
> wenn eine oder beide Integrationsgrenzen unbeschränkt sind,
> oder wenn die Funktion in einem beschränkten Intervall
> unbegrenzt ist ( wenn also die Funktion an einer Stelle in
> dem Intervall eine Polstelle hat).
> Ist das richtig so?!
Jo, das kann man so sagen
>
> Falls das so stimmt, frage ich mich, ob ich bei beiden
> Aufgabentypen vom Prinzip her gleich vorzugehen habe?! Und
> wenn ja wie? Vielleicht kann mir das jemand einmal an den
> oben beschriebenen Aufgaben etwas näher erläutern. In der
> Vorlesung habe ich nur eine Definition des uneigentlichen
> Integrals gefunden, aus der ich aber nicht schlau werde und
> die mir auch beim Bearbeiten der Aufgaben nicht wirklich
> weiterhilft.
Beim ersten Integral setze $a>0$ als obere Grenze und brerechne $\lim\limits_{a\to\infty}\int\limits_{0}^{a}{x\cdot{}e^{-2x} \ dx}$
partielle Integration hilft hier schnell.
Wenn du das mal ausrechnest, kommst du auf einen unbestimmten Ausdruck, dessen GW du (zB.) ganz gut mit de l'Hôpital bestimmen kannst
Das zweite Integral ist gleich doppelt unbestimmt 
Zum einen an der unteren Grenze 0, da dort der Nenner 0 würde, zum anderen an der oberen Grenze 1 aus demselben Grunde
Setze also zB. $a>0$ als untere Grenze und $b<1$ als obere Grenze fest und berechne
$\lim\limits_{a\to 0^+}\left(\lim\limits_{b\to 1^-}\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{1-x}} \ dx}\right)$
Das Integral kannst du mit Substitution lösen, etwa $u:=\sqrt{x}$ sollte klappen ...
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> Wäre wirklich toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße. Das schlumpfinchen.
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ich habe mich jetzt gerade an der ersten Aufgabe versucht und bin auf eine Fragen gestoßen. Ich bin mir nicht sicher, an welcher Stelle ich die l'Hospital Regel anwenden muss?
Also, ich bin mithilfe der partiellen Integration auf folgenden Ausdruck gekommen:
[mm] \limes_{a \to \infty} [/mm] [mm] \left( \left[ - \bruch{1}{2} e^-^2^x x \right] + \bruch{1}{2} \left[ - \bruch{1}{2} e^-^2^x \right] \right)
[/mm]
(An den beiden eckigen Klammern müssten jeweils rechts noch die Integrationsgrenzen stehen. Wußte nicht wie ich das reinschreiben kann)
Jedenfalls bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig ist?! Wenn ja wüßte ich außerdem nicht, wo ich hier die l'Hospital Regel anwenden kann. Ich habe ja gar keinen Quotienten, wo 0 durch 0 oder unendlich durch unendlich rauskommen kann. Oder muss ich erst die Integrationsgrenzen einsetzen? Aber dann habe ich ja gar kein x mehr zu ableiten. Bin irgendwie verwirrt?!
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
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> ich habe mich jetzt gerade an der ersten Aufgabe versucht
> und bin auf eine Fragen gestoßen. Ich bin mir nicht sicher,
> an welcher Stelle ich die l'Hospital Regel anwenden muss?
>
> Also, ich bin mithilfe der partiellen Integration auf
> folgenden Ausdruck gekommen:
> [mm]\limes_{a \to \infty}[/mm] [mm]\left( \left[ - \bruch{1}{2} e^-^2^x x \right] + \bruch{1}{2} \left[ - \bruch{1}{2} e^-^2^x \right] \right)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Einfacher für dich zum Tippen ist es, wenn du die Exponenten in geschweifte Klammern setzt, etwa e^{-2x}, das gibt [mm] $e^{-2x}$.
[/mm]
Dann musst du nicht so tricksen
>
> (An den beiden eckigen Klammern müssten jeweils rechts noch
> die Integrationsgrenzen stehen. Wußte nicht wie ich das
> reinschreiben kann)
so: blabla_{0}^{a}Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Jedenfalls bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig
> ist?!
Doch, sieht gut aus, wenn du nun die Grenzen 0 und a einsetzt, kommst du auf
$...=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot{}e^{-2a}\cdot{}(2a+1)$
Hier musst du nun schauen, was für $a\to\infty$ abgeht
Das $\frac{1}{4}$ bleibt ja konstant so stehen, das $-\frac{1}{4}$ lassen wir mal, der Rest $\frac{2a+1}{e^{2a}$ strebt bei direktem Grenzübergang gegen den unbestimmten Ausdruck $\frac{\infty}{\infty}$
Das also mit de l'Hôpital verarzten
> Wenn ja wüßte ich außerdem nicht, wo ich hier die
> l'Hospital Regel anwenden kann. Ich habe ja gar keinen
> Quotienten, wo 0 durch 0 oder unendlich durch unendlich
> rauskommen kann. Oder muss ich erst die Integrationsgrenzen
> einsetzen? Aber dann habe ich ja gar kein x mehr zu
> ableiten. Bin irgendwie verwirrt?!
Hoffe, ich konnte dich entwirren
LG
schachuzipus
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Hallo,
> > Hallo schachuzipus,
> >
> > ich habe mich jetzt gerade an der ersten Aufgabe versucht
> > und bin auf eine Fragen gestoßen. Ich bin mir nicht sicher,
> > an welcher Stelle ich die l'Hospital Regel anwenden muss?
> >
> > Also, ich bin mithilfe der partiellen Integration auf
> > folgenden Ausdruck gekommen:
> > [mm]\limes_{a \to \infty}[/mm] [mm]\left( \left[ - \bruch{1}{2} e^-^2^x x \right] + \bruch{1}{2} \left[ - \bruch{1}{2} e^-^2^x \right] \right)[/mm]
>
>
>
> Einfacher für dich zum Tippen ist es, wenn du die
> Exponenten in geschweifte Klammern setzt, etwa
> [mm][code]e^{-2x}[/code],[/mm] das gibt [mm]e^{-2x}[/mm].
>
> Dann musst du nicht so tricksen
Danke für den Tipp!!
> > (An den beiden eckigen Klammern müssten jeweils rechts noch
> > die Integrationsgrenzen stehen. Wußte nicht wie ich das
> > reinschreiben kann)
>
> so: [mm][code]blabla_{0}^{a}[/code][/mm]
>
> > Jedenfalls bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig
> > ist?!
>
> Doch, sieht gut aus, wenn du nun die Grenzen 0 und a
> einsetzt, kommst du auf
>
> [mm]...=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot{}e^{-2a}\cdot{}(2a+1)[/mm]
Dann lag ich ja doch nicht so falsch. Das hatte ich nämlich auch schon rausbekommen, als ich die Integrationsgrenzen eingesetzt habe.
> Hier musst du nun schauen, was für [mm]a\to\infty[/mm] abgeht
>
> Das [mm]\frac{1}{4}[/mm] bleibt ja konstant so stehen, das
> [mm]-\frac{1}{4}[/mm] lassen wir mal, der Rest [mm]\frac{2a+1}{e^{2a}[/mm]
> strebt bei direktem Grenzübergang gegen den unbestimmten
> Ausdruck [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]
>
> Das also mit de l'Hôpital verarzten
Ok, super. Das habe ich jetzt wohl verstanden.
> > Wenn ja wüßte ich außerdem nicht, wo ich hier die
> > l'Hospital Regel anwenden kann. Ich habe ja gar keinen
> > Quotienten, wo 0 durch 0 oder unendlich durch unendlich
> > rauskommen kann. Oder muss ich erst die Integrationsgrenzen
> > einsetzen? Aber dann habe ich ja gar kein x mehr zu
> > ableiten. Bin irgendwie verwirrt?!
>
>
> Hoffe, ich konnte dich entwirren
>
> LG
>
> schachuzipus
Jetzt habe ich nochmal eine Frage zu der zweiten Aufgabe. Ich glaube das ich das wohl jetzt schon hinbekommen werde. An einer Stelle stellt sich für mich jedoch noch folgendes Problem: Wir hatten diese Aufgabe schon mal als Integral aber über einem Intervall, bei wo keine Lücken aufgetreten sind, so dass es sich um ein "normales" Integral gehandelt hat. Dieses wurde auch mit Substitution gelöst. An einer Stelle trat allerdings im Nenner
ein Umformungsschritt auf, welchen ich nicht nachvollziehen kann. Und zwar ist dort
[mm] \wurzel{\bruch{1 + t}{2}} \wurzel{1 - \bruch{1 + t}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1 + t}{2} \bruch{1 - t}{2}}
[/mm]
Wie kommt das wohl zustande???
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Hallo nochmal,
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> Dann lag ich ja doch nicht so falsch. Das hatte ich nämlich
> auch schon rausbekommen, als ich die Integrationsgrenzen
> eingesetzt habe.
>
> > Hier musst du nun schauen, was für [mm]a\to\infty[/mm] abgeht
> >
> > Das [mm]\frac{1}{4}[/mm] bleibt ja konstant so stehen, das
> > [mm]-\frac{1}{4}[/mm] lassen wir mal, der Rest [mm]\frac{2a+1}{e^{2a}[/mm]
> > strebt bei direktem Grenzübergang gegen den unbestimmten
> > Ausdruck [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]
> >
> > Das also mit de l'Hôpital verarzten
>
> Ok, super. Das habe ich jetzt wohl verstanden.
>
> Jetzt habe ich nochmal eine Frage zu der zweiten Aufgabe.
> Ich glaube das ich das wohl jetzt schon hinbekommen werde.
> An einer Stelle stellt sich für mich jedoch noch folgendes
> Problem: Wir hatten diese Aufgabe schon mal als Integral
> aber über einem Intervall, bei wo
Wie, wo, was?
> keine Lücken aufgetreten
> sind, so dass es sich um ein "normales" Integral gehandelt
> hat.
Hier sind lediglich beide Intervallgrenzen 0 und 1 "kritisch", im Inneren des Intervalls hat die Funktion keine Polstellen und macht auch anderweitig keine Fisimatenten
> Dieses wurde auch mit Substitution gelöst. An einer
> Stelle trat allerdings im Nenner
> ein Umformungsschritt auf, welchen ich nicht nachvollziehen
> kann. Und zwar ist dort
> [mm]\wurzel{\bruch{1 + t}{2}} \wurzel{1 - \bruch{1 + t}{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\bruch{1 + t}{2} \bruch{1 - t}{2}}[/mm]
>
> Wie kommt das wohl zustande???
Unter der hinteren Wurzel erweitern und die Minusklammer beachten:
[mm] $\sqrt{1-\frac{1+t}{2}}=\sqrt{\frac{2}{2}-\frac{1+t}{2}}=\sqrt{\frac{2-\red{(}1+t\red{)}}{2}}=\sqrt{\frac{1-t}{2}}$
[/mm]
Dann mit der ersten Wurzel multiplizieren nach der Regel [mm] $\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot{}b}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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ok, vielen Dank erstmal soweit...
Viele Grüße!
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