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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 16.05.2006 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | Beweise, dass
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\sin ax}{x}dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] a>0$ |
Hallo miteinander!! Wie gehts, wie stehts? Ich hab da mal ne Frage bezüglich eines uneigentlichen Integrales. Ich habe die Vermutung, dass keine explizite Stammfunktion existiert. Ferner weiss ich, dass
[mm] $\lim_{x\rightarrow 0} \bruch{\sin ax}{x}=a [/mm] $ und
[mm] $\lim_{x\rightarrow \infty} \bruch{\sin ax}{x}=0 [/mm] $
Das Integral jedoch macht mir besonders grosse Schwierigkeiten. Meine Frage:
Kann man dieses Problem auf ein elementares zurückführen oder braucht man da
zwingend besondere Kentnisse??
Gruss dazivo
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Von dem [mm]a[/mm] kannst du dich durch die Substitution [mm]x = \frac{1}{a} \, t[/mm] befreien. Das Integral
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin{t}}{t}~\mathrm{d}t[/mm]
hat bekanntermaßen den Wert [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]. Elementare Herleitungen sind mir allerdings nicht bekannt.
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