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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren. Berechnen Sie im Falle der Existenz den Wert der entsprechenden Integrale
a) [mm] \integral_0^\infty{\bruch{x}{(x^2+1)^3}dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_0^1{\bruch{arccos(x)}{\wurzel{1-x^2}}dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_0^\infty{\bruch{1}{ln(x)}dx} [/mm] |
Hallo,
ich bin mit dieser Aufgabe leider nicht so klar gekommen und benötige etwas Hilfe.
zu a)
Mit Substitution [mm] u=x^2+1 [/mm] habe ich
[mm] \bruch{1}{2}\integral_0^\infty{\bruch{1}{u^3}du}=[\bruch{1}{2}ln(|x^2+1|^3)]_0^\infty
[/mm]
Ist das richtig?
Bei den anderen beiden hab ich irgendwie nichts hinbekommen und bitte deshalb um einen Tipp. Welche Integrationstechnik kann man anwenden? Hab wie verrückt etwas versucht, aber ohne erfolg.
Lg
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Die Substitution bei a) ist korrekt gewählt, allerdings falsch durchgerechnet. Du mußt die Grenzen ebenfalls substituieren.
Mit [mm]u = x^2 + 1[/mm] und [mm]\mathrm{d}u = 2x ~ \mathrm{d}x[/mm] geht [mm]x=0[/mm] in [mm]u=1[/mm] und [mm]x=\infty[/mm] in [mm]u=\infty[/mm] über:
[mm]\int_0^{\infty} \frac{x}{\left( x^2 + 1 \right)^3} ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_1^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^3} = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{2} \int_1^b \frac{\mathrm{d}u}{u^3} \right) [/mm]
Eine Resubstitution ist nicht erforderlich, da die Grenzen ja mittransformiert wurden. Allerdings solltest du die Stammfunktion von [mm]f(u) = \frac{1}{u^3}[/mm] richtig berechnen. Das hat nichts mit dem Logarithmus zu tun.
Bei b) sollte dir die Ableitung des Arcussinus auffallen.
Und bei c) denke in die andere Richtung ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
Danke für die schnelle Antwort und Korrektur.
> Die Substitution bei a) ist korrekt gewählt, allerdings
> falsch durchgerechnet. Du mußt die Grenzen ebenfalls
> substituieren.
>
> Mit [mm]u = x^2 + 1[/mm] und [mm]\mathrm{d}u = 2x ~ \mathrm{d}x[/mm] geht [mm]x=0[/mm]
> in [mm]u=1[/mm] und [mm]x=\infty[/mm] in [mm]u=\infty[/mm] über:
>
[mm] \int_0^{\infty} \frac{x}{\left( x^2 + 1 \right)^3} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \int_1^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^3} [/mm] = [mm] \lim_{b \to \infty} [/mm] ( [mm] \frac{1}{2} \int_1^b \frac{\mathrm{d}u}{u^3}=\lim_{b \to \infty} [-\bruch{1}{2}x^2]_1^b=\lim_{b \to \infty}(-\bruch{1}{4}b^2+\bruch{1}{4} [/mm] )-> [mm] \infty
[/mm]
Bei b) sollte dir die Ableitung des Arcussinus auffallen.
also die Ableitung ist ja [mm] -\bruch{1}{nenner} [/mm]
Aus der Schule hab ich grob in Erinnerung:
bruch mit zähler = ableitung vom nenner --> ln(|nenner|) Wenn das stimmt waere hier die Stammfunktion [mm] -ln(\wurzel{|1-x^2|})
[/mm]
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> [mm]\int_0^{\infty} \frac{x}{\left( x^2 + 1 \right)^3}[/mm] [mm]\mathrm{d}x[/mm] = [mm]%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint_1%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Du%7D%7Bu%5E3%7D[/mm] = [mm]\lim_{b \to \infty}[/mm] ([mm]\frac{1}{2} \int_1^b \frac{\mathrm{d}u}{u^3}=\lim_{b \to \infty} [-\bruch{1}{2}x^2]_1^b=\lim_{b \to \infty}(-\bruch{1}{4}b^2+\bruch{1}{4}[/mm])-> [mm]\infty[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{u^3} [/mm] \ = \ [mm] u^{-3}$ [/mm] lautet [mm] $-\bruch{1}{2}*u^{\red{-}2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2*u^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> Bei b) sollte dir die Ableitung des Arcussinus auffallen.
>
> also die Ableitung ist ja
>
> Aus der Schule hab ich grob in Erinnerung:
>
> bruch mit zähler = ableitung vom nenner --> ln(|nenner|)
> Wenn das stimmt waere hier die Stammfunktion
Das stimmt überhaupt nicht.
Zudem kannst Du das doch schnell mittels Ableiten überprüfen.
Es gilt: [mm]\left[ \ \arccos(x) \ \right]' \ = \ -\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}[/mm] .
Substituiere also: [mm]u \ := \ \arccos(x)[/mm] .
Gruß
Loddar
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