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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mo 30.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral
[mm] \integral_{}^{}{\tan(x)*\sin(x)dx} [/mm] |
Also vielleicht bin ich da ja total auf dem Holzweg aber ich habe so angefangen:
$ [mm] \integral_{}^{}{\tan(x)\cdot{}\sin(x)dx}=\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{\cos(x)}dx}=\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{\cos(x)}\cdot{}\bruch{\cos(x)}{\cos(x)}dx} [/mm] $
$ [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\cdot{}\cos(x)dx}= [/mm] $
$ [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}\cdot{}\cos(x)dx} [/mm] $
Substitution:
$ [mm] z(x)=\sin(x) [/mm] $
$ [mm] dz=\cos(x)\cdot{}dx [/mm] $
$ [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz} [/mm] $
Ab hier fällt es mir jetzt schwer weiterzumachen...
Eine Idee wäre so:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz}=\integral_{}^{}{z\cdot{}\bruch{z}{1-z^2}dz} [/mm] $
---------------------------
NR:
$ [mm] \integral{}^{}{\bruch{z}{1-z^2}dz} [/mm] $
$ [mm] s(z)=1-z^2 [/mm] $
ds=-2z*dz
$ [mm] \integral{}^{}{\bruch{z}{1-z^2}}=-\bruch{1}{2}\integral{}^{}{\bruch{-2\cdot{}z}{1-z^2}dz} [/mm] $
$ [mm] =-\bruch{1}{2}\integral{}^{}{\bruch{1}{s}ds}=-\bruch{1}{2}*\ln(|s|)=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|) [/mm] $
---------------------------
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz}=\integral_{}^{}{z\cdot{}\bruch{z}{1-z^2}dz} [/mm] $
[mm] u'(z)=\bruch{z}{1-z^2}
[/mm]
[mm] u(z)=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)
[/mm]
v(z)=z
v'(z)=1
Dann:
[mm] \integral_{}^{}{z\cdot{}\bruch{z}{1-z^2}dz}=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)*z-\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)dz}=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)*z+\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ln(|1-z^2|)dz} [/mm]
Und jetzt noch das Integral [mm] \integral_{}^{}{ln(|1-z^2|)dz} [/mm] zu lösen kriege ich nicht hin...
gibt es da vielleicht einen einfacheren Weg?
Danke und Gruß,
tedd
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] ln|1-z^2|=ln|(1-z)(1+z)|=ln|1-z|+ln|1+z|, [/mm] wenn es dir hilft!
Einfacher wäre es meiner Meinung nach aber so gegangen:
[...]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{z^2}{z^2-1}dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{z^2-1+1}{z^2-1}dz}=-\integral_{}^{}{1+\bruch{1}{z^2-1}dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^2-1} [/mm] kannst du mit Partialbruchzerlegung zu [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{z-1}-\bruch{1}{z+1}) [/mm] umformen und das kannst du dann alles schön einfach integrieren und zusammenfassen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 30.03.2009 | | Autor: | tedd |
Ui nicht schlecht! 
Danke für die Hilfe Teufel.
Gruß,
tedd
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