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| Aufgabe | E: [mm] \vec{x}* \pmat{ 2 & 2 & 1 }=6
[/mm]
E: [mm] \vec{x}*\pmat{ -1 & 2 & 2 } [/mm] = 12 |
Zeigen sie, dass die ebenen sich schneiden und bestimmen sie eine gleichung der schnittgeraden...
HIER HABE ICH JA NUN ZWEIMAL DIE NORMALENFORM.....
wie man das damit ausrechnet weiss ich, nur jetzt soll ich das einmal mit der parameterform und einmal mit der normalenform machen und diese formen beibehalten
Wie geht das?
Vielen Dank im Vorraus
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 02.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib mal die Normalenform in die Koordinatenform um (Also berechne das Skalarprodukt)
Also:
[mm] E_{1}:2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=6
[/mm]
[mm] E_{2}:-x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12
[/mm]
Das ergibt dann folgendes GLS:
[mm] \vmat{2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=6\\-x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12}
[/mm]
Jetzt setze mal [mm] x_{3}=\lambda [/mm] (Das LGS hat ja eine Gleichung weniger als Variablen)
[mm] \vmat{2x_{1}+2x_{2}+\lambda=6\\-x_{1}+2x_{2}+2\lambda=12\\x_{3}=\lambda}
[/mm]
GL1-GL2
[mm] \vmat{2x_{1}+2x_{2}+\lambda=6\\3x_{1}-\lambda=-6\\x_{3}=\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw{2x_{1}+2x_{2}+\lambda=6\\x_{1}=\bruch{\lambda-6}{3}\\x_{3}=\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw{\bruch{2(\lambda-6)}{3}+2x_{2}+\lambda=6\\x_{1}=\bruch{\lambda}{3}-2\\x_{3}=\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw{x_{2}=3-\bruch{2(\lambda-6)}{6}-\bruch{\lambda}{2}\\x_{1}=\bruch{\lambda}{3}-2\\x_{3}=\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw{x_{2}=3-\bruch{\lambda}{3}+2-\bruch{\lambda}{2}\\x_{1}=\bruch{\lambda}{3}-2\\x_{3}=\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw{x_{2}=5-\bruch{5}{6}\lambda\\x_{1}=-2+\bruch{1}{3}\lambda\\x_{3}=0+1\lambda}
[/mm]
Also ist die Lösungsmenge:
[mm] \IL=\left\{-2+\bruch{1}{3}\lambda;5-\bruch{5}{6}\lambda;0+1\lambda\right\}
[/mm]
Und das als Vektor geschrieben:
[mm] \vektor{-2+\bruch{1}{3}\lambda\\5-\bruch{5}{6}\lambda\\0+1\lambda}
[/mm]
[mm] =\vektor{-2\\5\\0}+\vektor{\bruch{1}{3}\lambda\\-\bruch{5}{6}\lambda\\1\lambda}
[/mm]
[mm] =\vektor{-2\\5\\0}+\lambda*\vektor{\bruch{1}{3}\\-\bruch{5}{6}\\1}
[/mm]
Und das erinnert doch irgendwie stark an eine Gerade
Marius
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Dankeschön, der weg ist mri auf jeden Fall klar...
Nur hast du die formen ja doch umgeändert (in die koordiantenform).. Wie rechnet man denn ne schnittgerade von der parameterform und einer normalenform aus OHNE beide formen zu ändern
kann allgemein gehalten sein
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 02.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die hast eine Ebene
[mm] E_{1}: \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=d
[/mm]
[mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=d
[/mm]
Und eine Parameterformebene [mm] E_{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}+\lambda\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}+\nu\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}
[/mm]
[mm] =\vektor{a_{1}+\lambda*u_{1}+\nu*v_{1}\\a_{2}+\lambda*u_{2}+\nu*v_{2}\\a_{3}+\lambda*u_{3}+\nu*v_{3}}
[/mm]
Das kannst du jetzt in die Ebene [mm] E_{1} [/mm] einsetzen.
Also:
[mm] n_{1}(a_{1}+\lambda*u_{1}+\nu*v_{1})+n_{2}(a_{2}+\lambda*u_{2}+\nu*v_{2})+n_{3}(a_{3}+\lambda*u_{3}+\nu*v_{3})=d
[/mm]
Das kannst du nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, also [mm] \lambda=\green{...+...\nu}
[/mm]
Und dieses [mm] \lambda [/mm] setze mal in [mm] E_{2} [/mm] ein:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}+(\green{...+...\nu})\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}+\nu\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}
[/mm]
Und das ganze kannst du jetzt zu einer Geraden formen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 So 02.03.2008 | | Autor: | Teenie88w |
Danke, das hat meine Frage vollkommen beantwortet..
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was mache ich denn in dem fall,wenn ich nicht nach [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] auflösen kann??
das ist bei meiner jetzigen aufgabe der fall
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mo 03.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Mo 03.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
> was mache ich denn in dem fall,wenn ich nicht nach [mm]\lambda[/mm]
> und [mm]\mu[/mm] auflösen kann??
>
> das ist bei meiner jetzigen aufgabe der fall
>
Ich vermute mal, dass die Ebenen dann parallel oder sogar identisch sind. Prüf das mal nach.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 So 02.03.2008 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Habt Ihr das Vektorprodukt behandelt?
Ein möglicher Richtungsvektor ergibt sich aus dem Vektorprodukt der Normalenvektoren der Ebenen! Warum? Versuche Dir das mal vorzustellen ..
Gruß
mathemak
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