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Hallo,
kann mir jemand erklären was die Übergangsdichte und Übergangswahrscheinlichkeit ist ? Ich habe schon nach einer Definition gesucht, aber das einzige was ich finde ist in Zusammenhang mit Markov-Ketten. In meinem Skript steht nur, dass g eine Übergangsdichte ist wenn es meßbar ist und g(x,y) Dichte auf R ist. Daraus werde ich aber leider nicht schlau ;(
Danke & Gruß
grape_fruit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann mir jemand erklären was die Übergangsdichte und
> Übergangswahrscheinlichkeit ist ? Ich habe schon nach einer
> Definition gesucht, aber das einzige was ich finde ist in
> Zusammenhang mit Markov-Ketten.
Fangen wir erstmal mit Uebergangswahrscheinlichkeiten an. Hast du die Definition bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gelesen? Dort findest du z.B. die Kurzbeschreibung ''Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben in der Statistik die Wahrscheinlichkeiten, vom Zustand zu einem aktuellen Beobachtungszeitpunkt i in bestimmte andere Zustände überzugehen.''
Das ganze kommt aus dem Kontext von stochastischen Prozessen: Ein stochastischer Prozess beschreibt einen ''zufaelligen'' Verlauf von irgendetwas. Sagen wir mal, durch die Zufallsvariable [mm] $X_t$ [/mm] wird der Status eines Wertes zum Zeitpunkt $t$ bestimmt. Etwa die Aussentermperatur zum Zeitpunkt $t$ (um mal etwas konkretes zu haben :) ). Jetzt ist man natuerlich dran interessiert, was passiert wenn $t$ sich aendert. Zum Beispiel von [mm] $X_1$ [/mm] nach [mm] $X_2$. [/mm] Die Uebergangswahrscheinlichkeit beschreibt jetzt folgendes: Gibst du einen Wert von [mm] $X_1$ [/mm] vor, so sagt dir die Uebergangswahrscheinlichkeit, wie die Verteilung von [mm] $X_2$ [/mm] ist unter der Annahme, dass [mm] $X_1$ [/mm] diesen Wert annimmt (das ist jetzt ein wenig spezieller als die allgemeine Definition, aber ich hoffe mal das es dadurch etwas anschaulicher wird).
Sei [mm] $\pi [/mm] : [mm] \IR \times \IB \to \IR$ [/mm] der Uebergangskern von [mm] $X_1$ [/mm] zu [mm] $X_2$ [/mm] (jeweils reellwertige Zufallsvariablen, zusammen mit der Borelschen [mm] $\sigma$-Algebra $\IB$; [/mm] die sprechweise ist jetzt nicht ganz sauber, ich ''identifiziere'' die Zufallsvariable mit dem auf [mm] $\IR$ [/mm] induzierten Mass). Etwa, wenn es heute draussen 10 Grad sind, dann liegt die Temperatur morgen mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\pi(10, [/mm] [5, 15])$ zwischen 5 und 15 Grad. Also ist [mm] $\pi(10, [/mm] [5, 15])$ sozusagen gleich [mm] $P(X_2 \in [/mm] [5, 15] [mm] \mid X_1 [/mm] = 10)$.
Ich hoffe mal, du kannst dir jetzt unter Uebergangswahrscheinlichkeit etwas vorstellen. Wenn nun die durch die Uebergangswahrscheinlichkeiten induzierten Wahrscheinlichkeitsmasse alle eine Dichte haben, kannst du damit aehnlich wie beim Uebergangskern eine Uebergangsdichte angeben, die halt fuer festgehaltende erste Komponente $x$ eine Dichte fuer das Wahrscheinlichkeitsmass [mm] $\pi(x, \bullet)$ [/mm] liefert.
LG Felix
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