Überabzählbarkeit < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 So 06.12.2009 | | Autor: | bestduo |
Hallo,
ich soll beweisen, dass das Intervall [1,2] überabzählbar ist.
Ich weiss jetzt nicht genau, wie ich anfangen soll.
Kann ich das durch einen Widerspruchsbeweis wie mit [0,1] machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 So 06.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Kennst du schon eine Menge, von der ihr wisst, dass sie überabzählbar ist?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 So 06.12.2009 | | Autor: | bestduo |
Ne ich kenne da keine Menge.
Brauche unbedingt einen Ansatz wie ich das machen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 So 06.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Wie habt ihr denn überabzählbar definiert?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 So 06.12.2009 | | Autor: | bestduo |
Eine Menge A [mm] \not= \emptyset [/mm] , die nicht höhstens abzählbar ist, heißt überabzählbar.
Ich könnte jetzt auch höchstens abzählbar definieren, aber ich finde das bringt nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 So 06.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Also das Intervall [1,2] ist sicherlich nicht endlich (warum?). Angenommen es wäre abzählbar, dann gäbe es eine Bijektion [mm] $f:\IN\to[1,2]$ [/mm] und ich könnte alle Zahlen in [1,2] in einem Schema aufschreiben:
[mm] f(1)=1,a^1_1a^1_2a^1_3...
[/mm]
[mm] f(2)=1,a^2_1a^2_2a^2_3...
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
und so weiter wobei auf der rechten Seite die 2-adische Entwicklung (also die Binärdarstellung) der reellen Zahl steht, d.h. [mm] $a^i_j\in\{0,1\}$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in\IN$. [/mm] Nun überlege mal ob du in diesem Schema eine Zahl konstruieren kannst, die garantiert nicht im Bild von $f$ liegt. (Dieses Argument ist das sog. "zweite Cantorsche Diagonalargument").
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 So 06.12.2009 | | Autor: | bestduo |
hmm also ich bin gerade im ersten Semester.. kann man das nicht einfacher erklären? Das wäre sehr nett.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 So 06.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> kann man das nicht einfacher erklären? Das wäre sehr nett.
Inhaltlich nicht. Aber wenn du mir sagst was du nicht verstanden hast kann ich es vielleicht nochmal irgendwie anders erklären.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 06.12.2009 | | Autor: | bestduo |
Ich verstehe jetzt nicht, wie ich mit dem Beweis anfangen soll. Also wie ich das von dir darauf anwenden soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 06.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja, wie gesagt. Die Hauptarbeit besteht darin zu zeigen, dass [mm][1,2][/mm] nicht abzählbar ist. Angenommen das wäre der Fall, d.h. es gibt eine Bijektion [mm] $f:\IN\to[1,2]$ [/mm] (warum?). Jede reelle Zahl in [1,2] kann ich als Binärzahl schreiben (warum?) d.h. [mm] $$f(n)=1+\sum_{i=1}^\infty a^{(n)}_i\cdot 2^{-i}$ [/mm] mit gewissen [mm] $a^{(n)}_i\in\{0,1\}$ [/mm] für alle [mm] $i,n\in\IN$$ [/mm] Soweit solltest du es verstanden haben. Jetzt definieren wir die folgende Zahl [mm] $$b:=1+\sum_{i=1}b_i2^{-i}$ [/mm] wobei [mm] $b_i:=\begin{cases}1&\text{falls }a^{(i)}_i=0\\0&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Nun gilt: (1) [mm] $b\in[1,2]$ [/mm] (warum?) und (2) [mm] $b\not\in f(\IN)$ [/mm] (warum?) -- Widerspruch da [mm]f[/mm] eine Bijektion auf [1,2] war. So jetzt musst du "nur noch" die ganzen Sachen beweisen die ich einfach so behauptet habe. Man kann es drehen wie man es will, an irgend ner Stelle muss man eben auch mal ackern um irgendwas nicht-triviales zu zeigen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 So 06.12.2009 | | Autor: | bestduo |
super, vielen dank, jetzt sollte ich klar kommen.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:30 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Jetzt definieren wir die folgende Zahl [mm]b:=1+\sum_{i=1}b_i2^{-i}$ wobei $b_i:=\begin{cases}1&\text{falls }a^{(i)}_i=0\\0&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
> Nun gilt: (1) [mm]$b\in[1,2]$[/mm] (warum?) und (2) [mm]$b\not\in f(\IN)$[/mm] (warum?)
> Widerspruch da [mm]f[/mm] eine Bijektion auf [1,2] war.
Die 2-adische Entwicklung ist hierbei die falsche Wahl.
Es kann sein, dass du für b die Entwicklung 1+0,011111... kriegst.
Und das ist aber dasselbe wie 1+0,100000...
Aber diese Zahl könnte in der Aufzählung schon vorgekommen sein.
Deswegen nimmt man bei diesem Beweis immer einfach die normale Dezimalentwicklung und setzt [mm]b_i := \begin{cases}6&\text{falls }a^{(i)}_i=5\\5&\text{sonst}\end{cases}[/mm].
LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich soll beweisen, dass das Intervall [1,2]
> überabzählbar ist.
> Ich weiss jetzt nicht genau, wie ich anfangen soll.
> Kann ich das durch einen Widerspruchsbeweis wie mit [0,1]
> machen?
Dann hattet Ihr ja doch schon die Überabzählbarkeit von [0,1] ?
Die Abbildung $f(x) = x+1$ bildet [0,1] bijektiv auf [1,2] ab !
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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