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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:06 Sa 04.04.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Die Funktion f(x)=sin(x) soll im Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] mittels Tschebyscheff-Interpolation durch ein Polynom p n-ten Grades approximiert werden. Gebe eine möglichst gute Schranke für den Interpolationsfehler
max |f(x)-p(x)| |
hallo zusammen,
Ich sitze vor diese AUfgabe und weiß nicht so recht wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
der allg. fehler beim Interpolation ist so def, dass
[mm] max|f(x)-p(x)|=max|(x-x_0)(x-x_1)\cdot....\cdot(x-x_n)\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}|
[/mm]
die Tschebyscheff-IPP sieht folg aus:
[mm] p(x)=\bruch{1}{2}c_0+c_1T_1(x)+....+c_nT_n(x) [/mm] wobei
[mm] c_k=\bruch{2}{n+1}\summe_{l=0}^{n}f(cos(\bruch{2\cdot l+1}{n+1}\cdot \bruch{\pi}{2}))\cdot cos(k\cdot\bruch{2l+1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2})
[/mm]
die [mm] x_0,...,x_n [/mm] kann man mit [mm] x_k=cos(\bruch{2k+1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}) [/mm]
wenn man es berechnet dann ist x immer abhängig von n, da wir für allgmeines n berechnen. man erhält dann
[mm] x_0=cos(\bruch{\pi}{(n+1)2})
[/mm]
[mm] x_1=cos(\bruch{\3pi}{(n+1)2})
[/mm]
[mm] x_2=cos(\bruch{5\pi}{(n+1)2})
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] x_n=cos(\bruch{(2n+1)\pi}{(n+1)2})
[/mm]
[mm] \rightarrow max|f(x)-p(x)|=max|(x-x_0)(x-x_1)\cdot....\cdot(x-x_n)^|
[/mm]
[mm] =max(x-cos(\bruch{\pi}{(n+1)2})...(x-cos(\bruch{(2n+1)\pi}{(n+1)2})))\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}
[/mm]
Ist der weg eigentlich richtig? Ich komme einfach nicht weiter und hoffe daher auf eure hilfe.
Ich bin auf jeden noch so kleinen tipp dankbar.
gruß
mimo1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 08.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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