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Forum "Interpolation und Approximation" - trigonometrisches Polynom

trigonometrisches Polynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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trigonometrisches Polynom: Eindeutigkeit

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:44 Fr 02.12.2005
Autor:	Karl_Pech

Hallo Leute!

Ich habe Probleme für folgende Aufgabe einen Ansatz zu finden:

Seien $2n+1$ Stützstellen [mm] $x_k \in \mathbb{R}$ [/mm] der Form $a [mm] \le x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] \dotsb [/mm] < [mm] x_{2n-1} [/mm] < [mm] x_{2n} [/mm] < a + [mm] 2\pi$, [/mm] $a [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] sowie $2n+1$ komplexe Zahlen [mm] $y_0,y_1,\dotsc,y_{2n-1},y_{2n}$ [/mm] gegeben.

(i) Zeige: Es existiert ein eindeutig bestimmtes trigonometrisches Polynom

[mm]T\left(x\right) := \frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^{n}{\left(a_j\cos\left(jx\right) + b_j\sin\left(jx\right)\right)}[/mm]

mit

[mm]T\left(x_k\right) = y_k[/mm] für $k = [mm] 0,1,\dotsc,2n$. [/mm]

Tip: Forme um: [mm]T\left(x\right) = \sum_{j=-n}^{n}{c_je^{ijx}}[/mm] mit [mm] $c_j \in \mathbb{C}$. [/mm]

Das Einzige, was ich zum Tip im Netz finden konnte, ist folgende Gleichungskette:

[mm]\frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^{n}{\left(a_j\cos\left(jx\right) + b_j\sin\left(jx\right)\right)} = \frac{1}{2}\left(a_0 + \sum_{j=1}^{n}{\left(\left(a_j - ib_j\right)e^{ijx} + \left(a_j + ib_j\right)e^{-ijx}\right)}\right) = \sum_{j=-n}^{n}{c_je^{ijx}}[/mm]

Leider verstehe ich beide Umformungsschritte nicht. Was geschieht da im Detail? Und wie muß ich dann anschließend weitermachen, um die Eindeutigkeit zu zeigen?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Grüße
Karl

Bezug

trigonometrisches Polynom: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:05 Sa 03.12.2005
Autor:	mathemaduenn

Hallo Karl,
Mittels
[mm]e^{ix}=\cos x +i\sin x[/mm]
cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin(x)
solltest Du die Gleichheit auch zeigen können.
Ansonsten wird sicher die Interpolationsbed. [mm] T(x_k)=y_k [/mm] gelten.
Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem für die [mm] c_k [/mm]
[mm]\vektor{y_0\\ \vdots \\y_{2n}}=A\vektor{c_{-jn}\\ \vdots \\c_{jn}}[/mm]
Die Frage wäre nun z.B. ob A invertierbar ist und somit die [mm] c_k [/mm] eindeutig bestimmt. So würd ich anfangen.
Vielleicht gibt's aber auch einen schönen Trick der mir gerade nicht einfällt.

viele Grüße
mathemaduenn

Bezug

trigonometrisches Polynom: erste Gleichung jetzt klar.

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:55 Sa 03.12.2005
Autor:	Karl_Pech

Hallo mathemaduenn!

Danke für deine Antwort! :-)

Ich habe die erste Gleichung mittlerweile verstanden:

Wir definieren erstmal:

[mm] $\cos [/mm] x := [mm] \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ [/mm]

und

[mm] $\sin [/mm] x := [mm] \frac{ie^{-ix}-ie^{ix}}{2}$ [/mm]

Und damit gilt:

[mm]\begin{gathered} \frac{{a_0 }} {2} + \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {a_j \cos \left( {jx} \right) + b_j \sin \left( {jx} \right)} \right)} = \frac{{a_0 }} {2} + \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {a_j \frac{{e^{ijx} + e^{ - ijx} }} {2} + b_j \frac{{ie^{ - ijx} - ie^{ijx} }} {2}} \right)} \hfill \\ = \frac{1} {2}\left( {a_0 + \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {a_j \left( {e^{ijx} + e^{ - ijx} } \right) + b_j \left( {ie^{ - ijx} - ie^{ijx} } \right)} \right)} } \right) \hfill \\ = \frac{1} {2}\left( {a_0 + \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {a_j e^{ijx} + a_j e^{ - ijx} + ib_j e^{ - ijx} - ib_j e^{ijx} } \right)} } \right) \hfill \\ = \frac{1} {2}\left( {a_0 + \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {\left( {a_j - ib_j } \right)e^{ijx} + \left( {a_j + ib_j } \right)e^{ - ijx} } \right)} } \right) \hfill \\ \end{gathered}[/mm]

Hab' mir halt eine Definition für den Sinus und Kosinus ausgesucht, so daß es passt.

Aber die zweite Gleichung ist immer noch ein Rätsel für mich.

Und wie bist Du eigentlich auf dieses Gleichungssystem gekommen? :

> Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem für die [mm]c_k[/mm]
> [mm]\vektor{y_0\\ \vdots \\y_{2n}}=A\vektor{c_{-jn}\\ \vdots \\c_{jn}}[/mm]

Und aus welchen Komponenten besteht eigentlich A?

Kann man hier eventuell mit dem Laplac'schen Entwicklungssatz argumentieren, um zu zeigen, daß [mm] $\det [/mm] A [mm] \ne [/mm] 0$? Oder ist A gar nicht quadratisch? Andererseits muß sie quadratisch sein, weil es nur dann eine Inverse gibt... [mm]\textrm{Fragen}^{\textrm{über Fragen}}\dots[/mm]

Wäre schön, wenn Du mir nochmal helfen könntest. ;-)

Viele Grüße
Karl

Bezug

trigonometrisches Polynom: Sackgasse?

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	03:02 So 04.12.2005
Autor:	mathemaduenn

Hallo Karl,
Die Einträge von A sollten sein
[mm] (A)_{lk}=e^{ilx_k} [/mm]
Dann ist
[mm] y_0=T(x_0)=\sum_{l=-n}^{n}{c_je^{ilx_0}} [/mm]
Aber irgendwie weiß ich gerade auch nicht weiter

viele Grüße
mathemaduenn

Bezug

trigonometrisches Polynom: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:04 Fr 23.12.2005
Autor:	moudi

Hallo Karl_Pech

Es gelten die sogenannten Euler-Relationen:
[mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ [/mm] und daraus wegen [mm] $\sin(-x)=-\sin(x)$ [/mm]
[mm] $e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)$ [/mm]

Daraus folgt [mm] $c_j e^{ijx}+c_{-j}e^{-ijx}= \underbrace{(c_j+c_{-j})}_{a_j}\cos(jx)+\underbrace{i(c_j-c_{-j})}_{b_j}\sin(jx)$ [/mm]

Umgekehrt nach [mm] $c_j$ [/mm] und [mm] $c_{-j}$ [/mm] aufgelöst
[mm] $c_j=\frac [/mm] 12 [mm] (a_j-ib_{j})$ [/mm] und [mm] $c_{-j}=\frac 12(a_j+ib_{j})$. [/mm]

A propos [mm] $c_0=\frac [/mm] 12 [mm] a_0$. [/mm]

Die Rechnung zeigt, dass man die trigonometrische Reihe
[mm] $T(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{j=0}^{n}a_j\cos(jx)+b_j\sin(jx)$ [/mm]
umschreiben kann auf
[mm] $T(x)=\sum\limits_{j=-n}^{n}c_j e^{ijx}.$ [/mm]
Es existieren genau dann eindeutige [mm] $a_j\quad (0\leq j\leq [/mm] n)$, [mm] $b_j\quad (1\leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] n)$, wenn es eindeutig definierte [mm] $c_j\quad (-n\leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] n)$ gibt.

Setzt man die Bedingunen [mm] $T(x_k)=y_k$ [/mm] ein, so ergibt sich für die Koeffizienten [mm] $c_j$ [/mm] das Gleichungssystem (wobei ich [mm] $z_k=e^{ix_k}$ [/mm] gesetzt habe):

[mm] $z_0^{-n}c_{-n}+z_0^{-n+1}c_{-n+1}+\dots+z_0^nc_n=y_0$ [/mm]
[mm] $z_1^{-n}c_{-n}+z_1^{-n+1}c_{-n+1}+\dots+z_1^nc_n=y_1$ [/mm]
[mm] $\vdots$ [/mm]
[mm] $z_{2n}^{-n}c_{-n}+z_{2n}^{-n+1}c_{-n+1}+\dots+z_{2n}^n c_n=y_{2n}$ [/mm]

Dieses Gleichungsystem ist regulär, wenn die Koeffizientenmatrix

[mm] $\vmat{ z_0^{-n} & z_0^{-n+1} & \dots & z_0^n\\ z_1^{-n} & z_1^{-n+1}& \dots & z_1^n\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ z_{2n}^{-n} & z_{2n}^{-n+1} & \dots & z_{2n}^n}$ [/mm]

regulär ist. Diese ist aber regulär, wenn die [mm] $z_k$ [/mm] paarweise verschieden sind, was durch die Bedingung an die [mm] $x_k$ [/mm] garantiert ist. Im wesentlichen ist die Koeffizientenmatrix eine Vandermondsche Matrix.

Eine Vandermondsche Matrix ist eine Matrix der Form

[mm] $\vmat{ 1 & z_0 & z_0^2 & \dots & z_0^n \\ 1 & z_1 & z_1^2 & \dots & z_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & z_n & z_n^2 & \dots & z_n^n }$ [/mm]

Diese Matrix besitzt die Determinante [mm] $\pm\prod\limits_{0\leq i Die Regularität der Koeffizientenmatrix, kann man aus der Regularität der Vandermondschen Matrix herleiten.

mfG Moudi

Bezug

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