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| Aufgabe | Sei [mm] $P(x):=\sum\limits_{k=-N}^Na_ke^{ikx}$ [/mm] ein trigonometrisches Polynom.
a) Zeigen Sie, dass $P'(x)=[P [mm] \star [/mm] h](x)$ git, mit [mm] $h_N(x):=(-2\sin(Nx)\sum\limits_{k=-N}^N(N-|j|)e^{ikx},\;N\in\mathbb{N}$
[/mm]
b)Beweisen sie die Ungleichung [mm] $\|P'\|_\infty\leq 2N^2\|P\|_\infty$. [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich bearbeite gerade die oben stehende Aufgabe b) und komme einfach nicht auf die richtige Abschätzung.
In einer Anderen Aufgabe haben wir bewiesen, dass für [mm] $f\in L(\mathbb{T}^n)$ [/mm] und [mm] $P(x):=\sum\limits_{|k|\leq N}a_ke^{ik\cdot x}$ [/mm] ein trigon. Polynom gilt:
[mm] $$(f\star P)(x)=\sum\limits_{|k|\leq N}a_k\hat{f}(k)e^{ik\cdot x}$$
[/mm]
Außerdem habe ich die Fourierkoeffizienten von $h$ berechnet mit:
[mm] $$\hat{h}_N(k)=\begin{cases}(N-|k-N|)*i&\text{ für }k=0,\ldots,2N\\ (N-|k+N|)*i&\text{ für }k=-2N,\ldots,0\\ 0 &\text{ sonst}\end{cases}$$
[/mm]
Ich habe einige Versuche unternommen, die jedoch nicht zum Ziel geführt haben:
[mm] $$\|P'\|_\infty=\|h_N\star P\|_\infty\leq \|h_n\|_\infty*\|P\|_\infty$$
[/mm]
Betrachte ich nun:
[mm] $$\|h_n\|_\infty=\|(-2\sin(Nx)\sum\limits_{k=-N}^N(N-|j|)e^{ikx}\|_\infty=2*\|\sum\limits_{k=-N}^N(N-|j|)e^{ikx}\|_\infty\leq 2*\sum\limits_{k=-N}^N|N-|j||\leq 2*\sum\limits_{k=-N}^NN=2*2*N*N=4N^2$$
[/mm]
Das passt aber noch nicht ganz.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Liebe Grüße
DudiPupan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Di 04.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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