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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 Sa 07.01.2012 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei $G$ topologische gruppe (d.h. gruppenverknüpfung und inversenabbildund sind stetig). Zeige:
Eine untergruppe [mm] $\Gamma\subset [/mm] G$ ist diskret [mm] $\gdw$ [/mm] ( für alle folgen [mm] $(T_n)\subset\Gamma$ [/mm] mit [mm] $T_n\to [/mm] Id [mm] \Rightarrow T_n=Id$ [/mm] für groß genuge n. ) |
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] sollte ja trivial sein.
aber wie mache ich [mm] "$\Leftarrow$"? [/mm] ich denke es geht wohl irgendwie damit, dass die linksmultiplikation stetig ist ... bekomms aber einfach nicht hin.
hin sehr dankbar für alle tipps und hinweise.
lg clee
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> Sei [mm]G[/mm] topologische gruppe (d.h. gruppenverknüpfung und
> inversenabbildund sind stetig). Zeige:
>
> Eine untergruppe [mm]\Gamma\subset G[/mm] ist diskret [mm]\gdw[/mm] ( für
> alle folgen [mm](T_n)\subset\Gamma[/mm] mit [mm]T_n\to Id \Rightarrow T_n=Id[/mm]
> für groß genuge n. )
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" sollte ja trivial sein.
> aber wie mache ich "[mm]\Leftarrow[/mm]"? ich denke es geht wohl
> irgendwie damit, dass die linksmultiplikation stetig ist
> ... bekomms aber einfach nicht hin.
>
> hin sehr dankbar für alle tipps und hinweise.
>
> lg clee
Zu einer beliebigen konvergenten Folge [mm] T_n\to [/mm] T betrachtest du die Folge [mm] (T^{-1}*T_n), [/mm] die dann gegen Id konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Sa 07.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Sei [mm]G[/mm] topologische gruppe (d.h. gruppenverknüpfung und
> > inversenabbildund sind stetig). Zeige:
> >
> > Eine untergruppe [mm]\Gamma\subset G[/mm] ist diskret [mm]\gdw[/mm] ( für
> > alle folgen [mm](T_n)\subset\Gamma[/mm] mit [mm]T_n\to Id \Rightarrow T_n=Id[/mm]
> > für groß genuge n. )
> > "[mm]\Rightarrow[/mm]" sollte ja trivial sein.
> > aber wie mache ich "[mm]\Leftarrow[/mm]"? ich denke es geht wohl
> > irgendwie damit, dass die linksmultiplikation stetig ist
> > ... bekomms aber einfach nicht hin.
> >
> > hin sehr dankbar für alle tipps und hinweise.
>
> Zu einer beliebigen konvergenten Folge [mm]T_n\to[/mm] T betrachtest
> du die Folge [mm](T^{-1}*T_n),[/mm] die dann gegen Id konvergiert.
Braucht man nicht auch noch eine abzaehlbare Umgebungsbasis der Identitaet (oder irgendeines anderen Punktes)? (Sprich $G$ muss das erste Abzaehlbarkeitsaxiom erfuellen?)
LG Felix
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