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topologische Räume: Maßraum
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:52 Do 25.10.2007
Autor: jumape

Aufgabe
Sei (X,A,f) ein Maßraum. zeigen Sie, dass dann für a1, a2,.....an aus A gilt:
f(Vereinigung der ak für k=1 bis n)=Summe über k=1 bis n von ((-1)hoch k) mal Summe von 1 kleiner gleich n1 kleiner n2...kleiner nk kleiner gleich n über(f(schnitt von l=1 bis k anl)

Ich würde das per Induktion machen komme aber nicht über die Induktionsvorraussetzung hinaus, aber für n=1 und n=2 gilt es.

        
Bezug
topologische Räume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Fr 26.10.2007
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> Sei (X,A,f) ein Maßraum. zeigen Sie, dass dann für a1,
> a2,.....an aus A gilt:
>  f(Vereinigung der ak für k=1 bis n)=Summe über k=1 bis n
> von ((-1)hoch k) mal Summe von 1 kleiner gleich n1 kleiner
> n2...kleiner nk kleiner gleich n über(f(schnitt von l=1 bis
> k anl)
>  Ich würde das per Induktion machen komme aber nicht über
> die Induktionsvorraussetzung hinaus, aber für n=1 und n=2
> gilt es.

ich denke, du wirst eher eine reaktion bekommen, wenn du diese aufgabe mit dem Formeleditor setzt. so ist sie jedenfalls unlesbar.

gruss
matthias


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Bezug
topologische Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Sa 27.10.2007
Autor: verkackt

Hallo Matthias, ich habe dieselbe aufgabe zu lösen.Ich schreib  also nochmal die aufgabenstellung:
Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum.Zeigen Sie, dass dann für alle [mm] A_{1},...,A_{n} \in \mathcal{A} [/mm] gilt:
[mm] \mu(\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}) =\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \summe_{1\le n_{1} Ich habe versucht mit Induktion diese Aufgabe zu beweisen, aber irgendwo bin ich gescheitert.Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann.

Bezug
                        
Bezug
topologische Räume: Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Sa 27.10.2007
Autor: Gnometech

Grüße!

So wie ich das sehe kommt man mit einer einfachen Induktion tatsächlich zum Ziel. Alles was man braucht ist diese Formel:

[mm] $\mu(A \cup [/mm] B) = [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \mu(B) [/mm] - [mm] \mu(A \cap [/mm] B)$

Diese ist der Induktionsanfang für $n = 2$ wenn man mag und hiflt auch im Induktionsschritt weiter.

Ich schreibe den Anfang mal auf:

[mm] $\mu\left( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) [/mm] = [mm] \mu \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right) [/mm] + [mm] \mu(A_n) [/mm] - [mm] \mu\left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \cap A_n \right)$ [/mm]

Nun kann die Induktionsvoraussetzung auf beide Klammern mit der Vereinigung angewandt werden, da nur über $n-1$ Mengen vereinigt wird. Der vordere Ausdruck liefert dann alle möglichen Schnitte, die [mm] $A_n$ [/mm] nicht enthalten und die hintere liefert alle Schnitte, die [mm] $A_n$ [/mm] enthalten, wobei das - für die nötige Vorzeichenverschiebung sorgt. Einige elementare Umformungen und ihr seid am Ziel.

Viel Erfolg!

Lars

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Bezug
topologische Räume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:08 So 28.10.2007
Autor: kittie

hallo lars,

beschäftige mich der gleicen Aufgabenstellung.
Den Induktionsanfang bekomme ich ja noch hin;)
Aber bei Induktionsschritt geh ich dann leider völlig unter.
Kann auch mit deinem Anfang davon leider nicht viel anfangen.:(
Willst du damit die inklusion von n-1 [mm] \to [/mm] n zeigen, oder verstehe ich da was falsch?
Hoffe du kannst mir da helfen, bekomme es nämlich leider überhaupt nicht auf die Reihe mit dem Induktionsschritt.

Vliele liebe Grüße, kittie

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Bezug
topologische Räume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:23 Di 30.10.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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