tetraeder < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 02.02.2008 | | Autor: | trulla |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sind bei einem Tetraeder die Umfänge aller seiner seitenflächen untereinander gleich, so sind die Seitenflächen des Tetraeders kongruent. Ist das Tetraeder regelmäßig? |
Der Umfang berechnet sich ja einfach, indem man die einzelnen Seitenlängen addiert. und zwei dreieckige seitenflächen, die sich beim tetraeder berühren, haben ja auf jeden fall schon mal eine kantenlänge als gemeinsame seite, die dann gleich ist. Aber wie gehe ich nun weiter vor?
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> Zeigen Sie: Sind bei einem Tetraeder die Umfänge aller
> seiner seitenflächen untereinander gleich, so sind die
> Seitenflächen des Tetraeders kongruent. Ist das Tetraeder
> regelmäßig?
> Der Umfang berechnet sich ja einfach, indem man die
> einzelnen Seitenlängen addiert. und zwei dreieckige
> seitenflächen, die sich beim tetraeder berühren, haben ja
> auf jeden fall schon mal eine kantenlänge als gemeinsame
> seite, die dann gleich ist. Aber wie gehe ich nun weiter
> vor?
Mach Dir mal eine Skizze und benenne die $6$ Kanten (z.B. mit $a,b,c,d,e,f$). Drücke dann den Umfang der $4$ Seitenflächen (den Du o.b.d.A. auf $1$ normieren darfst), mit Hilfe dieser Kantenlängen aus: ergibt $4$ Gleichungen mit $6$ Unbekannten. Bestimme die allgemeine Lösung (enthält zwei freie Parameter) und zeige, dass die $4$ Seitenflächen, ausgedrückt mit Hilfe dieser zwei freien Parameter, in der Tat kongruent sind.
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