taylorpolynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylor-Polynom [mm] p_{n} [/mm] fuer die Funktion
f: [mm] (1,\infty) \to \IR, f(x)=(x-1)*[ln(x-1)^{3}+x+1],
[/mm]
die entwicklungsstelle [mm] x_{0}=2 [/mm] und beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] |
hi leute,
da bin ich nochmal :)
also zuerst hab ich mir ein paar ableitungen gebildet um ueberhaupt zu schaun was da passiert...
[mm] f^{1}(x)=ln(x-1)^{3}+2x+4
[/mm]
[mm] f^{2}(x)=\bruch{3}{x-1}+2
[/mm]
[mm] f^{3}(x)=\bruch{-3}{(x-1)^{2}}
[/mm]
[mm] f^{4}(x)=\bruch{6}{(x-1)^{3}}
[/mm]
[mm] f^{5}(x)=\bruch{-18}{(x-1)^{4}}
[/mm]
danach hab ich auf die allgemeine form fuer n geschlossen mit
[mm] f^{n}(x)=\bruch{(-3)*(-1)^{n}(n-1)!}{(x-1)^{n}}
[/mm]
jetzt hab ich die 2 eingesetzt und die werte berechnet
f(2)=3
[mm] f^{1}(2)=8
[/mm]
[mm] f^{2}(2)=5
[/mm]
[mm] f^{3}(2)=-3
[/mm]
[mm] f^{4}(2)=6
[/mm]
[mm] f^{5}(2)=-18
[/mm]
[mm] f^{n}(2)=(-3)*(-1)^{n}*(n-2)!
[/mm]
ok das hab ich nun in die allgemeine formel fuer das taylorpolynom eingesetzt..
[mm] T_{n}(x)=3+8*(x-2)+\bruch{5}{2!}*(x-2)^{2}+\bruch{(-3)}{3!}*(x-2)^{3}+\bruch{6}{4!}*(x-2)^{4}+...+\bruch{(-3)*(-1)^{n}}{n(n-1)}*(x-2)^{n}
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung? Waere wirklich super, wenn da mal jemand drueber schaun koennte, weil ich das zum ersten mal selbst versucht hab.
ich dank euch schon mal im vorraus.
LG Jany :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jany!
> Bestimmen Sie das Taylor-Polynom [mm]p_{n}[/mm] fuer die Funktion
> f: [mm](1,\infty) \to \IR, f(x)=(x-1)*[ln(x-1)^{3}+x+1],[/mm]
> die
> entwicklungsstelle [mm]x_{0}=2[/mm] und beliebiges [mm]n\in\IN[/mm]
> hi leute,
> da bin ich nochmal :)
> also zuerst hab ich mir ein paar ableitungen gebildet um
> ueberhaupt zu schaun was da passiert...
> [mm]f^{1}(x)=ln(x-1)^{3}+2x+4[/mm]
> [mm]f^{2}(x)=\bruch{3}{x-1}+2[/mm]
> [mm]f^{3}(x)=\bruch{-3}{(x-1)^{2}}[/mm]
> [mm]f^{4}(x)=\bruch{6}{(x-1)^{3}}[/mm]
> [mm]f^{5}(x)=\bruch{-18}{(x-1)^{4}}[/mm]
> danach hab ich auf die allgemeine form fuer n geschlossen
> mit
> [mm]f^{n}(x)=\bruch{(-3)*(-1)^{n}(n-1)!}{(x-1)^{n}}[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz: Der Ausdruck gehoert zu [mm] $f^{n-1}(x)$ [/mm] (und gilt ab $n - 1 [mm] \ge [/mm] 3$). Das kannst du leicht sehen, wenn du $n = 2, 3, 4$ einsetzt...
> jetzt hab ich die 2 eingesetzt und die werte berechnet
> f(2)=3
> [mm]f^{1}(2)=8[/mm]
> [mm]f^{2}(2)=5[/mm]
> [mm]f^{3}(2)=-3[/mm]
> [mm]f^{4}(2)=6[/mm]
> [mm]f^{5}(2)=-18[/mm]
> [mm]f^{n}(2)=(-3)*(-1)^{n}*(n-2)![/mm]
Auch hier musst du das wieder passend verschieben.
> ok das hab ich nun in die allgemeine formel fuer das
> taylorpolynom eingesetzt..
>
> [mm]T_{n}(x)=3+8*(x-2)+\bruch{5}{2!}*(x-2)^{2}+\bruch{(-3)}{3!}*(x-2)^{3}+\bruch{6}{4!}*(x-2)^{4}+...+\bruch{(-3)*(-1)^{n}}{n(n-1)}*(x-2)^{n}[/mm]
>
> Ist das soweit in Ordnung? Waere wirklich super, wenn da
> mal jemand drueber schaun koennte, weil ich das zum ersten
> mal selbst versucht hab.
> ich dank euch schon mal im vorraus.
Abgesehen von der Verschiebung ists in Ordnung!
Wobei ich das Polynom dann an deiner Stelle so allgemein wie moeglich angeben wuerde, also [mm]T_{n}(x)=3+8 (x-2)+\bruch{5}{2} (x-2)^2 + \sum_{k=3}^n ... (x-2)^k[/mm] wobei du $...$ durch das richtige Ersetzen musst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Janyary |
vielen dank nochmal fuer deine hilfe.
ja stimmt bei der n-ten ableitung hab ich nicht richtig aufgepasst. werd ich morgen dann gleich mal verbessern. naja und fuer die ersten 2 ableitungen hab ich leider keine form gefunden, die passt. aber wenn ich das dann so in etwa schreiben kann, ist das ja auch ok :)
also gute nacht und bis denn.
LG Jany
|
|
|
|
