tanh stetig? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
Eigentlich muss ich zeigen, dass der [mm] \tanh [/mm] stetig ist. Der [mm] \tanh [/mm] ist ja def. als [mm] \sinh/\cosh [/mm] bzw [mm] $\frac{(e^{2x} - 1)}{(e^{2x} + 1)}$
[/mm]
Jetzt müsste ich eigentlich zeigen, dass [mm] e^{2x} [/mm] stetig ist. also [mm] \exp(2x), [/mm] dazu wähle ich die Folge [mm] x_n [/mm] , die gegen a konvergiere, damit gilt [mm] \lim_{n\to\infty}\exp(x_n)=\lim_{n\to\infty}(\exp(a)\exp(x_n-a))=\exp(a)\lim_{n\to\infty}\exp(x_n-a)=\exp(a), [/mm] da gilt [mm] \lim(x_n-a)=0.
[/mm]
Jetzt müsste ich nur noch beweisen, dass dieser Quotient auch stetig ist. Da habe ich aber keine Ahnung zu. Es is so dass weiss ich aber wie man das zeigt, weiss ich nicht
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> Hoi.
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> Eigentlich muss ich zeigen, dass der [mm]\tanh[/mm] stetig ist. Der
> [mm]\tanh[/mm] ist ja def. als [mm]\sinh/\cosh[/mm] bzw [mm]\frac{(e^{2x} - 1)}{(e^{2x} + 1)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Jetzt müsste ich eigentlich zeigen, dass [mm]e^{2x}[/mm] stetig ist.
> also [mm]\exp(2x),[/mm] dazu wähle ich die Folge [mm]x_n[/mm] , die gegen a
> konvergiere, damit gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty}\exp(x_n)=\lim_{n\to\infty}(\exp(a)\exp(x_n-a))=\exp(a)\lim_{n\to\infty}\exp(x_n-a)=\exp(a),[/mm]
> da gilt [mm]\lim(x_n-a)=0.[/mm]
> Jetzt müsste ich nur noch beweisen, dass dieser Quotient
> auch stetig ist. Da habe ich aber keine Ahnung zu. Es is so
> dass weiss ich aber wie man das zeigt, weiss ich nicht
ok, wenn du das denn noch ausführlich begründen sollst, würde ich etwas in der Art vorschlagen und mich dabei auf die Sätze zum Rechnen mit stetigen Funktionen aus der VL berufen:
[mm] e^x [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, damit auch [mm] e^{2x}=e^x\cdot{}e^x [/mm] als Produkt zweier stetiger Funktionen.
Da 1 als Funktion ebenfalls stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] ist, sind [mm] e^{2x}+1 [/mm] und [mm] e^{2x}-1 [/mm] als Komposition stetiger Funktionen wiederum stetig auf ganz [mm] \IR,
[/mm]
der Nenner ist [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \forall x\in\IR, [/mm] also ist [mm] \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\tanh(x) [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig
Gruß
schachuzipus
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