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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 13.11.2007 | | Autor: | MonaMoe |
| Aufgabe | Im Anschauungsraum sind die Punkte A(3/-2/0); [mm] B_{t}(4/0/t); C_{t}(4/t+1/2t+1); [/mm] D(0/5/-3) mit [mm] t\in \IR.
[/mm]
Die Ebene [mm] E_{t} [/mm] ist durch die Punkte gegeben:
[mm] E_{t}: (2-t)x_{1} -x_{2} +x_{3} [/mm] +3t-8
a) Bestimmen Sie t so,dass [mm] E_{t} [/mm] parallel zur [mm] x_{1}-Achse [/mm] ist.
b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und D.
Für welchen Wert von t liegt g in der Ebene [mm] E_{t}?
[/mm]
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Hallo an Alle,
diese Aufgabe gehört zu meinen Hausaufgaben und ich will sie unbedingt schaffen! Dafür gibt es auch einen sehr guten Grund: Unser Lehrer sagt uns bloß die Lösungen und erklärt die Aufgabe nicht richtig, mein Schicksal. Auf jeden Fall bin ich so weit gekommen:
zu a)
Hier habe ich erstmal die [mm] x_{1}-Achse [/mm] bestimmt, die ist ja immer:
[mm] \vec{x}= [/mm] q [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und nun [mm] E_{t} [/mm] in Parameterform:
[mm] E_{t}: \vec{x}= \pmat{3 \\ -2 \\ 0} +r\pmat{1 \\ 2 \\ 3} +s\pmat{1 \\ t+3 \\ 2t+1}
[/mm]
Diese habe ich gleichgesetzt und erhalte in der LGS zum Schluss:
[mm] \vmat{ r & s & q & _ \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & t+1 & +3 & 8 \\ 0 & 0 & t-3 & 3t-8 }
[/mm]
Und was mach ich jetzt? Wie gehts weiter? Für die Parallälität muss die LGS doch unlösbar sein. Dass ich das weiß, macht diese doofen t nicht weg!
zu b)
Hier habe ich erstmal die Gerdae g erstellt:
g: [mm] \vec{x}= \pmat{3 \\ -2 \\ 0} [/mm] +b [mm] \pmat{-3 \\ 7 \\ -3}.
[/mm]
Dann hab ich auch die [mm] E_{t}: (2-t)x_{1} -x_{2} +x_{3} [/mm] +3t-8 in die Parameterform umgewandelt:
[mm] E_{t}: \vec{x}= \pmat{3 \\ -2 \\ 0} +r\pmat{1 \\ 2 \\ 3} +s\pmat{1 \\ t+3 \\ 2t+1}
[/mm]
Diese habe ich dann gleichgesetzt und durch dasLGS eingesetzt. Das lezte sieht dann so aus:
[mm] \vmat{ r & s & b & _ \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & t+1 & -13 & -4 \\ 0 & 0 & 16-3t & 4 }
[/mm]
Ja und jetzt komm ich nicht weiter! Denn das LGS kann ja nie mehrdeutig lösbar werden. Das ist doch die Bedingung dafür, dass g in [mm] E_{t} [/mm] liegt.
Was mach ich denn jetzt? Oder was hab ich falsch gemacht?
Ich hoffe,dass ich mir die ganze Mühe es so schön aufzulisten nicht um sonst getan habe.
Danke im Vorraus
Mona
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Hi, Mona,
> Im Anschauungsraum sind die Punkte A(3/-2/0); [mm]B_{t}(4/0/t); C_{t}(4/t+1/2t+1);[/mm]
> D(0/5/-3) mit [mm]t\in \IR.[/mm]
> Die Ebene [mm]E_{t}[/mm] ist durch die Punkte gegeben:
> [mm]E_{t}: (2-t)x_{1} -x_{2} +x_{3}[/mm] +3t-8 = 0
>
> a) Bestimmen Sie t so,dass [mm]E_{t}[/mm] parallel zur [mm]x_{1}-Achse[/mm] ist.
>
> b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und D.
> Für welchen Wert von t liegt g in der Ebene [mm]E_{t}?[/mm]
> diese Aufgabe gehört zu meinen Hausaufgaben und ich will
> sie unbedingt schaffen! Dafür gibt es auch einen sehr guten
> Grund: Unser Lehrer sagt uns bloß die Lösungen und erklärt
> die Aufgabe nicht richtig, mein Schicksal. Auf jeden Fall
> bin ich so weit gekommen:
>
> zu a)
> Hier habe ich erstmal die [mm]x_{1}-Achse[/mm] bestimmt, die ist ja
> immer:
> [mm]\vec{x}=[/mm] q [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] und nun [mm]E_{t}[/mm] in
> Parameterform:
> [mm]E_{t}: \vec{x}= \pmat{3 \\ -2 \\ 0} +r\pmat{1 \\ 2 \\ 3} +s\pmat{1 \\ t+3 \\ 2t+1}[/mm]
>
> Diese habe ich gleichgesetzt und erhalte in der LGS zum
> Schluss:
> [mm]\vmat{ r & s & q & _ \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & t+1 & +3 & 8 \\ 0 & 0 & t-3 & 3t-8 }[/mm]
>
> Und was mach ich jetzt? Wie gehts weiter? Für die
> Parallälität muss die LGS doch unlösbar sein. Dass ich das
> weiß, macht diese doofen t nicht weg!
Das ist doch alles VIIIEEEL zu umständlich!
Du hast doch E in Normalenform gegeben und kennst somit ihren Normalenvektor:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2-t \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Wenn die Ebene nun also parallel zur [mm] x_{1}-Achse [/mm] sein soll, dann muss dieser Normalenvektor SENKRECHT auf dem Richtungsvektor dieser Achse stehen, was letztlich heißt: Das Skalarprodukt beider muss =0 sein. (Ergebnis also: t=2)
>
> zu b)
>
> Hier habe ich erstmal die Gerade g erstellt:
> g: [mm]\vec{x}= \pmat{3 \\ -2 \\ 0}[/mm] +b [mm]\pmat{-3 \\ 7 \\ -3}.[/mm]
Das ist überflüssig! Da eine Gerade durch 2 Punkte EINdeutig bestimmt ist, genügt es, die beiden Punkte A und D in die Ebenengleichung einzusetzen.
Da - wie Du sehr schnell raushaben wirst - der Punkt A in jeder der Ebenen drinliegt, genügt es, t so zu bestimmen, dass auch der Punkt D drin liegt.
(Ergebnis: [mm] t=\bruch{16}{3}.)
[/mm]
Ach ja: Wozu sind denn die Punkte B und C gegeben?!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 13.11.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Hallo Du,
ich danke dir erstmal fuer die schnelle Antwort!
Ich habe Aufg. b) verstanden!
Bei der Aufg. a) muss ich dich noch fragen, was denn ein Skalarprodukt ist? Das Produkt aus dem Vektor der Ebenengleichung und der Normalengleichung? Das wurde hinkommen! Richtig?
Vielen Dank nochmal
Mona
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Hi, Mona,
> ich danke dir erstmal fuer die schnelle Antwort!
> Ich habe Aufg. b) verstanden!
>
> Bei der Aufg. a) muss ich dich noch fragen, was denn ein
> Skalarprodukt ist? Das Produkt aus dem Vektor der
> Ebenengleichung und der Normalengleichung?
Allgemein ist das Skalarprodukt zweier Vektoren so definiert:
[mm] \vektor{a\\b\\c} \circ \vektor{e\\f\\g} [/mm] = ae + bf + cg.
Wenn dieses nun =0 ist, dann stehen die beiden Vektoren aufeinander senkrecht.
Bei Dir nun muss der NORMALENVEKTOR der Ebene (siehe meine erste Antwort) und der Richtungsvektor der [mm] x_{1}-Achse, [/mm] also [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] aufeinander senkrecht stehen.
mfG!
Zwerglein
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