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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 06.05.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Es seinen p,q [mm] \in \IZ_{\ge 3} [/mm] Primzahlen mit p<q und p teilt nicht q-1. weiter sei G eine gruppe der Ordnung pq. Zeige:
i) Es gibt genau eine q-Sylow-grp. [mm] H_q \subseteq [/mm] G und diese ist ein Normalteiler in G
ii) Es gibt genau eine p-Sylow-grp. [mm] H_p \subseteq [/mm] G und diese ist ein Normalteiler in G
iii) Es gilt [mm] H_p \cap H_q =\{e_G\} [/mm] und man hat ein Iso
[mm] G\congG/H_q \times G/H_p \cong \IZ/p\IZ \times \IZ/q\IZ \cong \IZ/pq\IZ [/mm] |
meine idee
i)Anzahl der [mm] s_q [/mm] der q-Sylowgr. ist [mm] s_q\equiv [/mm] 1 mod q und teilt die gruppenordnung pq. d.h [mm] s_q=1 [/mm] oder [mm] s_q [/mm] =p. wegen p<q gilt [mm] s_q=p [/mm] nicht konguent zu1 mod q, also ex. nur eine q- sylow gruppe [mm] H_q. [/mm] da alle zu ihr konjugierten ebenfalls q-sylow gr. sind, ist sie ein NT.
ii) analog wie oben
iii) Da bei i) und ii) gezeigt wurde das [mm] H_q [/mm] und [mm] H_p [/mm] NT sind, sind sie aich Untergrp. d.h beide enthalten neutr. el. d.h [mm] H_q \cup H_p =\{e_g\}
[/mm]
und da [mm] |H_p|=p [/mm] und [mm] |H_q|=q [/mm] und ihre ordnung jeweil prim, sind sie iso
zu [mm] H_p \cong \IZ_p [/mm] und [mm] H_q \cong \IZ_q
[/mm]
ist es bis jetzt richtig?
könnt ihr mir weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mi 07.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Es seinen p,q [mm]\in \IZ_{\ge 3}[/mm] Primzahlen mit p<q und p
> teilt nicht q-1. weiter sei G eine gruppe der Ordnung pq.
> Zeige:
> i) Es gibt genau eine q-Sylow-grp. [mm]H_q \subseteq[/mm] G und
> diese ist ein Normalteiler in G
>
> ii) Es gibt genau eine p-Sylow-grp. [mm]H_p \subseteq[/mm] G und
> diese ist ein Normalteiler in G
>
> iii) Es gilt [mm]H_p \cap H_q =\{e_G\}[/mm] und man hat ein Iso
>
> [mm]G\congG/H_q \times G/H_p \cong \IZ/p\IZ \times \IZ/q\IZ \cong \IZ/pq\IZ[/mm]
>
> meine idee
>
> i)Anzahl der [mm]s_q[/mm] der q-Sylowgr. ist [mm]s_q\equiv[/mm] 1 mod q und
> teilt die gruppenordnung pq. d.h [mm]s_q=1[/mm] oder [mm]s_q[/mm] =p. wegen
> p<q gilt [mm]s_q=p[/mm] nicht konguent zu1 mod q, also ex. nur eine
> q- sylow gruppe [mm]H_q.[/mm] da alle zu ihr konjugierten ebenfalls
> q-sylow gr. sind, ist sie ein NT.
O.K.
>
> ii) analog wie oben
Das musst Du naeher begruenden, denn $p$ und $q$ sind nicht gleichwertig.
>
> iii) Da bei i) und ii) gezeigt wurde das [mm]H_q[/mm] und [mm]H_p[/mm] NT
> sind, sind sie aich Untergrp. d.h beide enthalten neutr.
> el. d.h [mm]H_q \cup H_p =\{e_g\}[/mm]
Ich vermute du hast dich verschrieben. Alles, was du damit hast, ist [mm] $\{e_{G}\}\subseteq H_{q}\cap H_{p}$. [/mm] Es fehlt noch die umgekehrte Inklusion. Wende den Satz von Lagrange an.
> und da [mm]|H_p|=p[/mm] und [mm]|H_q|=q[/mm]
> und ihre ordnung jeweil prim, sind sie iso
> zu [mm]H_p \cong \IZ_p[/mm] und [mm]H_q \cong \IZ_q[/mm]
O.K.
>
> ist es bis jetzt richtig?
> könnt ihr mir weiterhelfen?
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