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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Sa 13.12.2008 | | Autor: | kawu |
Seien A, B, C Mengen und $f : A [mm] \to [/mm] B$ und $g : B [mm] \to [/mm] C$ Abbildungen.
Behauptung: Sind f und g surjektiv, ist auch $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv.
Das gilt es nun zu beweisen. Da ich nun mit meinem ersten Versuch, einen Beweis zu formulieren, offenbar kläglich gescheitert bin und einige "alte Hasen" fast schon den Eindruck erweckt haben, als hätten sie das als Angriff auf ihre Person empfunden, frage ich lieber mal vorsichtig: Wie _könnte_ ich das beweisen?
Ich mache mal einen vorsichtigen Anfang:
Da f surjektiv ist, gibt es für jedes b aus B ein a in A mit f(a) = b. Da g ebenfalls surjektiv ist, gibt es für jedes c in C ein b in B mit g(b) = c
Liege ich damit weit daneben? Und wenn nicht, wie komme ich von dort aus auf die surjektivität fon $g [mm] \circ [/mm] f$?
lg, KaWu
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Hallo kawu,
> Seien A, B, C Mengen und [mm]f : A \to B[/mm] und [mm]g : B \to C[/mm]
> Abbildungen.
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> Behauptung: Sind f und g surjektiv, ist auch [mm]g \circ f[/mm]
> surjektiv.
>
> Das gilt es nun zu beweisen. Da ich nun mit meinem ersten
> Versuch, einen Beweis zu formulieren, offenbar kläglich
> gescheitert bin und einige "alte Hasen" fast schon den
> Eindruck erweckt haben, als hätten sie das als Angriff auf
> ihre Person empfunden, frage ich lieber mal vorsichtig: Wie
> _könnte_ ich das beweisen?
>
> Ich mache mal einen vorsichtigen Anfang:
> Da f surjektiv ist, gibt es für jedes b aus B ein a in A
> mit f(a) = b. Da g ebenfalls surjektiv ist, gibt es für
> jedes c in C ein b in B mit g(b) = c ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nenne aber letzteres b lieber [mm] $\tilde{b}$, [/mm] dann kommt es nicht zu Bezeichnungskonflikten 
>
> Liege ich damit weit daneben? Und wenn nicht, wie komme ich
> von dort aus auf die surjektivität fon [mm]g \circ f[/mm]?
Nur zusammensetzen, was du hast!
Es ist ja [mm] $g\circ f:A\to [/mm] C$
Du musst also zeigen, dass es zu jedem [mm] $c\in [/mm] C$ ein [mm] $a\in [/mm] A$ gibt mit [mm] $(g\circ [/mm] f)(a)=c$
Beachte, dass [mm] $(g\circ [/mm] f)(a)=g(f(a))$ ist
Nimm dir nun also ein beliebiges [mm] $c\in [/mm] C$ her, dazu ex. wegen der Surj. von $g$ ein [mm] $b\in [/mm] B$ mit $g(b)=c$
Nun ist aber auch $f$ surjektiv, also existiert zu genau diesem [mm] $b\in [/mm] B$ von oben ein ...
Dann ....
>
> lg, KaWu
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 13.12.2008 | | Autor: | kawu |
Verstehe ich es richtig, dass ich das wichtigste schon gesagt/geschrieben habe? Wenn dem so ist, dann sollte ich wohl nur noch schreiben, dass $g [mm] \circ [/mm] f$ genau deswegen surjektiv ist weil für jedes $a [mm] \in [/mm] A$, jedes $c [mm] \in [/mm] C$ und jedes $b [mm] \in [/mm] B$ gilt c = g(b = f(a))
Ist das gültig? Dann ist es wirklich wesentlich leichter, als ich gedacht habe.
lg, KaWu
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> Verstehe ich es richtig, dass ich das wichtigste schon
> gesagt/geschrieben habe?
Hallo,
kommt drauf an, was man für wie wichtig hält...
Deinem ersten Post konnte man entnehmen, daß Du verstanden hast, was "surjektiv" bedeutet. Das ist wichtig, wenn man eine Aufgabe zur Surjektivität lösen möchte.
In Deinem ersten Post hast Du außerdem schon aufgeschrieben, welches die Voraussetzungen der zur beweisenden Aussage sind und was diese bedeuten. Auch das Feststellen dessen, was Voraussetzung ist und was gezeigt werden muß, ist für einen erfolgreichen Beweis wichtig, ebenso das Verständnis der Voraussetzungen. Auch diese wichtig Vorbereitung für den beweis hattest Du getan.
Wichtig ist aber auch, daß man die Aussage beweist, und das hatte in Deinem ersten Post noch nicht stattgefunden, sondern Du hast das nun nachgericht.
> Wenn dem so ist, dann sollte ich
> wohl nur noch schreiben, dass [mm]g \circ f[/mm] genau deswegen
> surjektiv ist weil für jedes [mm]a \in A[/mm], jedes [mm]c \in C[/mm] und
> jedes [mm]b \in B[/mm] gilt c = g(b = f(a))
Ich verstehe gut, was Du dort sagen möchtest.
>
> Ist das gültig? Dann ist es wirklich wesentlich leichter,
Richtig aufschreiben würde man es so.
zu zeigen: [mm] g\circ [/mm] f ist surjektiv, dh. zu jedem [mm] c\in [/mm] C findet man ein [mm] a\in [/mm] A mit [mm] (g\circ [/mm] f)(a)=c.
Beweis: es sei [mm] c\in [/mm] C. (Man greift sich also irgendein beliebiges Element aus der Menge C.)
Weil g surjektiv ist, gibt es ein dazu passendes Element b so, daß g(b)=c ist.
Nun ist auch f surjektiv. Also findet man ein Element [mm] a\in [/mm] A, welches auf b abgebildet wird, für das also f(a)=b ist.
Folglich ist g(f(a))=c.
Fazit: zu jedem beliebigen [mm] c\in [/mm] C findet man ein [mm] a\in [/mm] a mit [mm] (g\circ [/mm] f)(a)=g(f(a))=c, also ist [mm] g\circ [/mm] f surjektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 13.12.2008 | | Autor: | kawu |
Danke, das war sehr ausführlich. Das Prinzip habe ich damit wohl verstanden. Ich hoffe, dass ich es bei der nächsten sich bietenden Gelegenheit auch anwenden kann.
Eine Frage habe ich noch zur Reihenfolge des Beweises: Dort hast du sozusagen von hinten angefangen. Ist das der übliche Weg die in der Argumentation aus der sich evtl ein Vorteil ergeben kann oder ist das nach dem Geschmack des Autors?
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Hallo nochmal,
> Danke, das war sehr ausführlich. Das Prinzip habe ich damit
> wohl verstanden. Ich hoffe, dass ich es bei der nächsten
> sich bietenden Gelegenheit auch anwenden kann.
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> Eine Frage habe ich noch zur Reihenfolge des Beweises: Dort
> hast du sozusagen von hinten angefangen. Ist das der
> übliche Weg die in der Argumentation aus der sich evtl ein
> Vorteil ergeben kann oder ist das nach dem Geschmack des
> Autors?
Nein, die Abbildung [mm] $(g\circ f):A\to [/mm] C$ geht doch von $A$ (über $B$) nach $C$, da musst du schon die Reihenfolge einhalten.
Außerdem weißt du doch nix über den direkten Bezug von $A$ und $C$, du musst also die oben gewählte Reihenfolge einhalten.
Die Aussage diktiert dir ja, zu beliebigem [mm] $c\in [/mm] C$ ein entsprechendes [mm] $a\in [/mm] A$ zu finden, so dass [mm] $(g\circ [/mm] f)(a)=c$ ist
Außerdem bedeutet [mm] $g\circ [/mm] f$ ja: "g nach f", du führst also zuerst f, dann g aus.
LG
schachuzuipus
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