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surjektiv, injektiv: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Fr 02.09.2005
Autor: andregod

Hallo,

geg.sind 2 Funktionen f:A->B, g:C->D. Ich möchte wissen ob die Verkettung
g(f(x)) surjektiv und/oder injektiv ist.  

Es gilt ja folgende Behauptung:  f,g injektiv=>g injektiv;  
f,g surjektiv=> f surjektiv.

Wie führe ich den Beweis?
Nimmt man an das f,g injektiv ist, und zeigt dann das g injektiv ist?
Wenn ja, dann weiß man das auch die Verkettung injektiv ist?

Gruß Andre

        
Bezug
surjektiv, injektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Fr 02.09.2005
Autor: Julius

Hallo Andre!

Das sieht mir verdächtig nach FAQs aus. ;-)

Und in der Tat;

http://www.mathebank.de/tiki-index.php?page=Typische+Surjektivit%E4ts-+und+Injektivit%E4tss%E4tze

(Sätze I2 und S2, jeweils mit Beweis).

Aber bevor du es liest: Denk doch mal nach:

Zunächst einmal nehme ich mal der Einfachheit halber $B=C$ an (jedenfalls muss $f(A) [mm] \subseteq [/mm] C$ sein, sonst macht die Aussage keinen Sinn).

Zu zeigen ist, dass $g [mm] \circ [/mm] f: A [mm] \to [/mm] D$ surjektiv ist, wenn $f$ und $g$ surjektiv ist. Es sei also $d [mm] \in [/mm] D$ beliebig gewählt. Dann gibt es - da $g$ surjektiv ist - ein $c [mm] \in [/mm] C$ mit $g(c)=d$. Nun ist aber auch $f$ surjektiv. D.h. es gibt auch ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $f(a)=c$. Und daher ist: $g(f(a))= [mm] \ldots$, [/mm] also: [mm] $\ldots$ [/mm]

Na? [lichtaufgegangen]?

Ansonsten schaue in die obigen Links...

Viele Grüße
Julius
Bezug
                
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surjektiv, injektiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Sa 03.09.2005
Autor: andregod

Hallo,

so hatte ich das nicht ganz gemeint.

Ich möchte ohne g [mm] \circ [/mm] f zu bilden, zeigen das g [mm] \circ [/mm] f injektiv,surjektiv.

Und zwar so:
g [mm] \circ [/mm] f injektiv  [mm] \Rightarrow [/mm]  f injektiv
also:
Vor: g [mm] \circ [/mm] f injektiv
Beh: f injektiv
Wenn ich nun zeige das f injektiv ist, so weiß ich das g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist, oder??
Bezug
                        
Bezug
surjektiv, injektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Sa 03.09.2005
Autor: mathedman


>  g [mm]\circ[/mm] f injektiv  [mm]\Rightarrow[/mm]  f injektiv

Jo, das stimmt.
Mach mal den Ansatz
[mm]f(x) = f(y)[/mm].
Dann folgt
[mm]g(f(x)) = g(f(y))[/mm].
Da [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, folgt...

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