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Hallo,
kann mir jemand kurz sagen, was die Vorgehensweise ist, wenn ich auf Injektivität und Surjektivität untersuche.
Ich habe mir notiert:
injektiv: Für ein y gibt es mehr als 1 x (vor allem bei Quadratischen FUnktionen)
surjektiv: Für ein y gibt es kein x.
Es gibt da ja auch meistens eine Vorschrift, aus welchem R in welches R die Funktion abgebildet wird. Welches R ist hier für mich von Bedeutung und warum?
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir das jemand im Grundsatz erklären könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Sa 31.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
du scheinst hier etwas durcheinander zu bringen.
Du hast zwei Mengen X,Y und eine Abbildung: [mm] f:X\to{Y}. [/mm]
Dann ist f...
... injektiv, wenn aus [mm] x,x'\in{X} [/mm] und f(x)=f(x') stets folgt, x=x'. Bedeutet: Je zwei verschieden Elemente von X haben stets zwei verschiedene Bildpunkte.
... surjektiv, wenn f(X)=Y, bedeutet: Jedes [mm] y\in{Y} [/mm] hat mindestens ein Urbild.
> Es gibt da ja auch meistens eine Vorschrift, aus welchem R
> in welches R die Funktion abgebildet wird. Welches R ist
> hier für mich von Bedeutung und warum?
Die Definition von Injektivität und Surjektivität ist immer die obige. Gleich, welchen [mm] \IR- [/mm] Vektorraum du betrachtest. Eine Abbildung kann immer auf Injektivität und Surjektivität geprüft werden.
Zum Beispiel ist [mm] f:\IR\to\IR, x\mapsto{x} [/mm] injektiv und surjektiv.
Aber auch [mm] g:\IR^2\to\IR^2,(x,y)\mapsto{(2x-y,0)} [/mm] kannst du auf Surjektivität und Injektivität hin prüfen; g ist weder injektiv, noch surjektiv - da kannst du dir als kleine Übung einmal überlegen, warum g nicht injektiv und auch nicht surjektiv ist.
Hast du eine bestimmte Abbildung, die dir Schwierigkeiten bereitet?
MfG barsch
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Ich habe hier eine konkrete Aufgabe, wo ich mit den Definitionen ehrlich gesagt nicht so leicht vorankomme. Ich brauche für die Klausur ein möglichst einfaches Schema, aber das scheint mir hier sehr schwierig zu sein. Ich hatte mir die Merksätze, wie gesagt, so aufgeschrieben wie im ANfangsposting.
![[]](/images/popup.gif) [img=http://img147.imageshack.us/img147/3530/aufgabeuw4.th.jpg]
Kannst du mir das vielleicht anhand der Aufgaben klar machen, wie ich solche Aufgaben möglichst schnell lösen kann? Worauf ich achten muss und wie ich vorgehen kann?
Ich danke dir im Voraus ganz herzlich!
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Hallo Englein,
so wie ich das sehe, sind deine "Merksätze" aus dem ersten post jeweils für nicht injektiv und nicht surjektiv
Ich mache mal die erste, du machst dann aber die anderen, versuche es zumindest und poste Ansätze!
Also [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=(x-1)^2$
[/mm]
Das Ding ist weder injektiv noch surjektiv
Zur Nicht-Injektivität:
nach deinem Merksatz musst du ein [mm] $y\in\IR$ [/mm] angeben, zu dem es zwei verschedene x'e, also [mm] $x_1,x_2\in\IR$ [/mm] gibt mit [mm] $x_1\neq x_2$ [/mm] und [mm] $f(x_1)=f(x_2)=y$
[/mm]
f beschreibt ja eine Parabel, was ist mit $y=4$? Kannst du dazu [mm] $x_1\neq x_2$ [/mm] finden mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)=4$?
[/mm]
Zur Nichtsurjektivität:
Nach deiner Merkregel müsstest du ein [mm] $y\in\IR$ [/mm] finden, zu dem es kein x gibt mit $f(x)=y$
Naja, [mm] $(x-1)^2$ [/mm] ist doch stets [mm] $\ge [/mm] 0$, versuche also mal zu $y=-1$ ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] zu finden mit [mm] $f(x)=(x-1)^2=y=-1$
[/mm]
Schwierig.
Übrigens entsprechen deine Merksätze der Verneinung der formalem Definitionen für Injektivität und Surjektivität.
Schreibe dir die Verneinungen mal formal auf, du wirst sehen, deine umgangssprachl. Merkregel gibt sie wider ...
LG
schachuzipus
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![[]](http://img147.imageshack.us/my.php?image=aufgabeuw4.jpg){kind=small}
[img=http://img147.imageshack.us/img147/3530/aufgabeuw4.th.jpg]