supremum, infinum einer menge < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 Mo 28.04.2008 | | Autor: | jsmile |
| Aufgabe | Existieren für die Mengen
M1:= [mm] {(-1)^n + 1/n : n element N};
[/mm]
M2:= {|x| / (1+ |x| ) : x element R};
M3:= { x / (1+x) : x element R, x>0}
Maximum, Minimum, Infimum, Supremum ? Begründen Sie Ihre Aussagen.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe keine ahnung wie ich da ran gehen muss. wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. Danke im voraus!
LIebe Grüße! jsmile
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich nehme an dir ist klar was Supremum und Infimum bedeuten?
Ein Infimum ist eine größte untere Schranke.
Darin stecken 2 Bedingungen:
(M Menge; i=inf M)
- i ist untere Schranke von M
- falls i'<i, so ist i' keine untere Schranke, d.h. es existiert [mm] x\in [/mm] M mit x<i'
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 28.04.2008 | | Autor: | jsmile |
ja..das ist mir schon klar. trotzdem hab ich nicht wirklich ne ahnung wie ich da jez bei den mengen rangehe..kannst du mir vielleicht mal nen beispiel geben!?? das wär suuuper lieb! dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Jo ich mach die triviale M3 ;)
es gilt $0 [mm] \le \bruch{x}{x+1} \le [/mm] 1$
[Jetzt macht man sich klar dass man an beide Schranken beliebig nahe rankommt]
Behauptung: sup M3=1, inf M3=0
Dass die beiden je Schranken sind steht oben und ist klar.
Den Rest zeige ich nur für das Infimum, also konkret:
jedes [mm] x\ge [/mm] 0 ist keine untere Schranke.
Dazu:
[mm] x\ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow y:=\bruch{x}{2} \ge [/mm] 0 mit [mm] \bruch{y}{y+1}\le [/mm] x
also kann x offensichtlich nicht untere Schranke sein, weshalb 0 die kleinste untere Schranke, also das Infimum ist.
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