summe k^-t mit 0<t<1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mi 19.05.2010 | | Autor: | junkx |
| Aufgabe | | Sei d [mm] \in \IN [/mm] und 0<t<1. Berechne [mm] \summe_{k=1}^{d} k^{-t}. [/mm] |
Hi,
ich möchte möglichst elegant zeigen, dass
[mm] \frac{\summe_{k=1}^{d} k^{-t}}{d}
[/mm]
mit 0<t für d [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 geht.
Für t [mm] \ge [/mm] 1 konvergiert die Summe offensichtlich. <-- Korrektur: dür t > 1 :D
Für t [mm] \le [/mm] 1 habe ich eine Variante das d aufzuteilen und so abzuschätzen, dass im Zähler wieder eine Summe steht die konvergiert und im Nenner sowas wie [mm] d^{t-\varepsilon} [/mm] mit beliebigem [mm] 0<\varepsilon
Andererseits ist mir klar, dass ich die summe [mm] k^{-t} [/mm] durch ein Integral über eine Treppenfunktion abschätzen kann wodurch der Bruch auch gegen 0 geht. Aber auch das ist mir zu aufwendig aufzuschreiben.
Daher die Frage: kann man die Summe im Zähler durch eine Formel exakt ausrechnen? Wenn ja wie nennt man sowas (ich erhoffe mir Antworten wie "geometrische Reihe", auch wenn ich weiß das es die eben nicht ist :D)
Vielen Dank schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo junkx!
Auch der Fall $t \ = \ 1$ führt Dich in die Divergenz der summe; denn dann handelt es sich um die harmonische Reihe.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 19.05.2010 | | Autor: | junkx |
das ist mir klar.
teilt man aber die summe vor dem grenzübergang durch d konvergiert das stets ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mi 19.05.2010 | | Autor: | junkx |
huch tut mir leid, natürlich hast du recht. ich hätte oben das [mm] \ge [/mm] durch ein > ersetzen sollen, sorry.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es gibt keine Formel für die Summe.
Gruss leduart
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