suffiziente Statistik < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Also gegeben ist: [mm] X_{1},...X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils einer Poissonverteilung mit [mm] \lambda>0 [/mm] unterliegen. Geschätzt wird: [mm] \theta=e^{-\lambda}
[/mm]
zu zeigen: [mm] T(X_{1},...X_{n})=\summe_{i=1}^{n}X_{i} [/mm] ist suffiziente Statistik für [mm] \theta [/mm] |
Hey also erstmal gilt ja auch, dass die ganzen Zufallsvariablen identische verteilt sind.
Nun hab ich mit dem Begriff suffizient so meine Schwierigkeiten. Könnte mir dazu jemand auch nochmal n bissl was erklären?
Wir hattens so, dass eine Statistik suffizient ist, wenn die bedingte Verteilung von [mm] X_{1},...X_{n} [/mm] gegeben die Statistik [mm] T(X_{1},...X_{n}) [/mm] nicht von [mm] \theta [/mm] abhängt.
Kann mir jemand n Tipp oder Ansatz geben, wie man die bedingte Verteilung berechnet?
Danke schonmal im voraus
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Kann mir jemand n Tipp oder Ansatz geben, wie man die
> bedingte Verteilung berechnet?
>
Schau mal in
@misc{mood1974introduction,
title={{Introduction to the Theorie of Statistics}},
author={Mood, A.M. and Graybill, F.A. and Boes, D.C.},
year={1974},
publisher={McGraw-Hill}
}
Seite 300-307.
vg Luis
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sorry, aber das buch hab ich leider nicht :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mi 06.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> sorry, aber das buch hab ich leider nicht :-(
Auch keine Uni-Bibliothek?
vg Luis
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leider ist dieses buch nicht in der bibliothek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mi 06.01.2010 | | Autor: | luis52 |
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Gut, dann versuchen wir's mal so. Gegeben seien ganze
Zahlen [mm] $x_1,\dots,x_n,z\ge0$. [/mm] Zu bestimmen ist die bedingte Verteilung
von [mm] $(X_1,\dots,X_n)$ [/mm] gegeben [mm] $\sum X_i$, [/mm] also [mm] $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\mid\sum X_i=z)$. [/mm]
Was faellt dir dazu ein?
vg Luis
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ok, dass sieht schon etwas handlicher aus, also allgemein gilt doch dann für die bedingete Wahrscheinlichkeit: [mm] P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
[/mm]
Also gilt dann doch:
[mm] P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\mid\sum X_i=z)=\frac{P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\cap\sum X_i=z)}{P(\sum X_i=z)}
[/mm]
Kann ich das nun noch aufgrund der Unabhängigkeit der [mm] X_{i} [/mm] als Produkt schreiben oder kann ich so nun weiter machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 06.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> ok, dass sieht schon etwas handlicher aus, also allgemein
> gilt doch dann für die bedingete Wahrscheinlichkeit:
> [mm]P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}[/mm]
>
> Also gilt dann doch:
>
> [mm]P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\mid\sum X_i=z)=\frac{P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\cap\sum X_i=z)}{P(\sum X_i=z)}[/mm]
>
> Kann ich das nun noch aufgrund der Unabhängigkeit der
> [mm]X_{i}[/mm] als Produkt schreiben
Schaun mer mal.
> oder kann ich so nun weiter
> machen?
Ja. (Wieso "oder"?)
vg Luis
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na dann probier ichs mal
[mm] \frac{P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\cap\sum X_i=z)}{P(\sum X_i=z)}=\frac{P(X_1=x_1\cap\sum X_i=z)*P(X_2=x_2\cap\sum X_i=z)*\dots*P(X_n=x_n\cap\sum X_i=z)}{P(\sum X_i=z)} [/mm]
Nun fehlt mir der Schritt wie ich das aufgrund des Schnittes umschreiben kann, ich weiss ja dass die [mm] X_{i} [/mm] Poissonverteilt sind, für die die Verteilungsfunktion ja so aussieht: [mm] F_{\lambda}(n)=e^{-\lambda}\summe_{k=0}^{n}\frac{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> na dann probier ichs mal
*Ich* rechne so:
[mm] $\frac{P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n,\sum X_i=z)}{P(\sum X_i=z)}=\frac{P(X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1},X_n=z-x_1-\dots x_{n-1})}{P(\sum X_i=z)}=\dots$
[/mm]
Wie ist [mm] $\sum X_i$ [/mm] verteilt?
vg Luis
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> Wie ist [mm]\sum X_i[/mm] verteilt?
[mm] \sum X_i [/mm] ist Poissonverteilt mit dem Parameter [mm] \underbrace{\lambda+\lambda+\dots+\lambda}_{n\lambda}=n\lambda
[/mm]
wie kann ich nun den Zähler betrachten, kann ich ihn als Produkt schreiben?
mfg piccolo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> wie kann ich nun den Zähler betrachten, kann ich ihn als
> Produkt schreiben?
>
Ja.
vg Luis
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ok, hab das mal durchgerechnet, der Ausdruck den ich nachher stehen habe hängt nur noch von den [mm] x_{i} [/mm] und z ab, also ist damit ja gezeigt, dass es sich um eine suffiziente Statistik handelt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> ok, hab das mal durchgerechnet, der Ausdruck den ich
> nachher stehen habe hängt nur noch von den [mm]x_{i}[/mm] und z ab,
Zeig mal.
vg Luis
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