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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Sa 26.01.2013 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | [mm] (x^{2}-7)^{2}-(x^{2}-7)-56=0
[/mm]
bestimmen Sie die Grundmenge |
Hallo,
Ich bekomm einfach nicht das richtige Ergebnis raus.
Also so bearbeite ich die Aufgabe.
[mm] (x^{2}-7)^{2}= (x^{2})^{2}=x^{4}-2*7*x^{2}+49
[/mm]
Dann löse ich die zweite Klammer auf [mm] -(x^{2}-7)=-x^{2}+7
[/mm]
[mm] x^{4}-2*7*x^{2}+49-x^{2}+7-56=0
[/mm]
[mm] x^{4}-14x^{2}+49-x^{2}+7-56=0
[/mm]
[mm] =x^{4}-15x^{2}
[/mm]
dann gebe ich das in meinen Taschenrechner mit der Mitternachtsformel ein und bekomme nicht L={0;-wurzel aus 1 ; +wurzel aus 15 }
wo liegt der Fehler ?
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Hallo,
> [mm](x^{2}-7)^{2}-(x^{2}-7)-56=0[/mm]
>
> bestimmen Sie die Grundmenge
Die Grundmenge ist vorgegeben. Das muss heißen Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
> Ich bekomm einfach nicht das richtige Ergebnis raus.
Das ist kein Wunder!
>
> Also so bearbeite ich die Aufgabe.
>
> [mm](x^{2}-7)^{2}= (x^{2})^{2}=x^{4}-2*7*x^{2}+49[/mm]
>
Mathematik hat zwar auch etwas mit Kreativität zu tun, folgt aber doch auch festen Regeln. Da oben steht Unsinn, und zwar schon in Form der allersersten Gleichheit. Ganz offensichtlich dient das dazu, die linke Seite der Gleichung auszumultiplizieren. Das kann man hier so machen, es ist auch richtig gerechnet, nur eben völlig unsinnig notiert.
> Dann löse ich die zweite Klammer auf [mm]-(x^{2}-7)=-x^{2}+7[/mm]
>
> [mm]x^{4}-2*7*x^{2}+49-x^{2}+7-56=0[/mm]
>
>
> [mm]x^{4}-14x^{2}+49-x^{2}+7-56=0[/mm]
>
> [mm]=x^{4}-15x^{2}[/mm]
>
>
> dann gebe ich das in meinen Taschenrechner mit der
> Mitternachtsformel ein und bekomme nicht L={0;-wurzel aus 1
> ; +wurzel aus 15 }
>
> wo liegt der Fehler ?
Das ist eine Gleichung 4. Ordnung, die kann man nicht mit der Mitternachtsformel lösen.
Mache mal so weiter:
[mm] x^4-15x^2=0 [/mm] <=>
[mm] x^2*(x^2-15)=0
[/mm]
und wende darauf den Satz vom Nullprodukt an.
PS: Dein gewählter Threadtitel sieht vor, die Gleichung durch Substitution zu lösen. Diese würde so aussehen:
[mm] z=x^2-7
[/mm]
und die neue Gleichung wäre
[mm] z^2-z-56=0
[/mm]
Aber tatsächlich ist dein Weg hier einfacher. Nur: das ist Zufall.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 26.01.2013 | | Autor: | b.reis |
hallo
mir bleibt doch in diesem Fall nur die Klammern aufzulösen.
Dann komme ich auf [mm] x^{4}-15x^{2} [/mm] so das ich nun subtituirt hätte, da ich das ausklammern nicht gesehen hätte. Die Substitution soll zur Mitternachtformel führen und in diesem Fall kommt 15 als Ergebnis raus.
Also hätte ich die Wurzel aus 15 gezogen dar [mm] x^{2}= [/mm] u
Danke für die Hilfe.
benni
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Hallo benni,
> hallo
>
> mir bleibt doch in diesem Fall nur die Klammern
> aufzulösen.
Nein, das siehst du völlig falsch. Du kannst die Gleichung wie schon geschrieben vermittelst [mm] z=x^2-7 [/mm] zunächst in eine quadratische Gleichung in z überführen, um diese dann mit der Mitternachtsformel zu lösen. Anschließend muss man natürlich noch zurücksubstituieren.
>
> Dann komme ich auf [mm]x^{4}-15x^{2}[/mm] so das ich nun subtituirt
> hätte, da ich das ausklammern nicht gesehen hätte. Die
> Substitution soll zur Mitternachtformel führen und in
> diesem Fall kommt 15 als Ergebnis raus.
Nein, das ist falsch. Für die durch die Substitution nue gewonnene Variable kommt 0 oder 15 heraus, aber auch hier musst du zurücksubstituieren. Und ganz ehrlich, wenn man
[mm] x^4-15x^2=0
[/mm]
per Substitution löst, dann kommt das der Methode sehr nahe, bei der man 5 Leute benötigt, um eine Glühbirne zu wechseln: einer steht auf einem Tisch und hält die Birne fest, die anderen vier halten den Tisch an den Ecken fest, heben ihn an und laufen im Kreis herum. 
Der Satz vom Nullprodukt ist dagegen dermaßen elementar, den muss man sich einfach einprägen und die richtige Lösungsmenge
[mm] \IL=\{-\wurzel{15};0;\wurzel{15}\}
[/mm]
kann man praktisch ablesen, ohne das man noch etwas rechnen oder gar in eine Formel einsetzen muss. Man muss einfach njur überlegen: für welche x wird [mm] x^2 [/mm] gleich Null, für welche wird [mm] x^2-15 [/mm] gleich Null?
Gruß, Diophant
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