strikte Konvexität < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:30 Do 19.02.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (i) Sei 1 < p < [mm] \infty [/mm] und [mm] x_1, x_2 \in l_p. [/mm]
Beh.: [mm] \| \frac{x_1 + x_2}{2} \|_p [/mm] =1 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2.
[/mm]
Diese Eigenschaft von [mm] l_p [/mm] nennt man strikte Konvexität. Was bedeutet sie für die Gestalt der Einheitskugel?
(ii) Zeige, dass [mm] l_1 [/mm] und [mm] l_{\infty} [/mm] nicht strikt konvex sind. |
Hallo,
ich habe die Gleichung mal äquivalent umgeformt zu
[mm] \sum_{j=1}^n |x_1 [/mm] + [mm] x_2|^p [/mm] = [mm] 2^p.
[/mm]
Warum folgt daraus, dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] sein muss? Hilft die Definition
[mm] l_p [/mm] = [mm] \{ x = (x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^p < \infty \} [/mm] dabei weiter?
Wie kann man sich das anschaulich vorstellen?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:26 Fr 20.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley
> (i) Sei 1 < p < [mm]\infty[/mm] und [mm]x_1, x_2 \in l_p.[/mm]
> Beh.: [mm]\| \frac{x_1 + x_2}{2} \|_p[/mm] =1 [mm]\Rightarrow x_1[/mm] =
> [mm]x_2.[/mm]
> Diese Eigenschaft von [mm]l_p[/mm] nennt man strikte Konvexität.
> Was bedeutet sie für die Gestalt der Einheitskugel?
> (ii) Zeige, dass [mm]l_1[/mm] und [mm]l_{\infty}[/mm] nicht strikt konvex
> sind.
> Hallo,
>
> ich habe die Gleichung mal äquivalent umgeformt zu
>
> [mm]\sum_{j=1}^n |x_1[/mm] + [mm]x_2|^p[/mm] = [mm]2^p.[/mm]
Hier fehlen die Indices $j$ bei [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$.
[/mm]
> Warum folgt daraus, dass [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] sein muss?
Es folgt nicht daraus. Die Aufgabenstellung ist falsch so wie sie da steht. Da fehlt vermutlich etwas mit Einheitskugel, etwa [mm] $\|x_1\|, \|x_2\| \le [/mm] 1$.
> Hilft die Definition
> [mm]l_p[/mm] = [mm]\{ x = (x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^p < \infty \}[/mm]
> dabei weiter?
Wieso summierst du hier bis [mm] $\infty$ [/mm] und oben nur bis $n$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:29 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Felix,
danke für deine Antwort! Hm, in der Aufgabenstellung steht wirklich nicht mehr, auch keine Indizes bei [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2.
[/mm]
Achso, in [mm] l_p [/mm] muss die Summe dann bis unendlich gehen, also
[mm] \| \frac{x_1 + x_2}{2} \|_p [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty} |\frac{x_1 +x_2}{2}|, [/mm] d.h.
[mm] \sum_{j=1}^{\infty} |x_1 [/mm] + [mm] x_2|^p [/mm] = [mm] 2^p.
[/mm]
Hm und wie siehst du das, dass es nicht draus folgt? Bzw. wie würde es folgen, wenn man noch diese zusätzliche Angaben hätte?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi,
ich habe die Übungsaufgabe gerade in einem Buch gefunden (im Werner), da steht noch [mm] \|x_i\|_p [/mm] = 1 dabei und als Tipp die Hölder- oder Minkowski-Ungleichung dafür zu studieren.
Ich kann mir das anschaulich noch nicht vorstellen. Beudetet [mm] \| \frac{x_1 + x_2}{2}\| [/mm] das man die mittlere Länge der Folgen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] betrachtet?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Sa 21.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi,
> ich habe die Übungsaufgabe gerade in einem Buch gefunden
> (im Werner), da steht noch [mm]\|x_i\|_p[/mm] = 1 dabei und als Tipp
> die Hölder- oder Minkowski-Ungleichung dafür zu studieren.
>
> Ich kann mir das anschaulich noch nicht vorstellen.
Diese Folgen als Elemente eines unendlichdimensionalen Vektorraums kann man sich kaum vorstellen. Die Voraussetzung [mm]\|x_i\|_p = 1[/mm] ist noch am einfachsten: es sind Vektoren, deren Endpunkte auf der Oberfläche der Einheitskugel liegen.
> Beudetet [mm]\| \frac{x_1 + x_2}{2}\|[/mm] das man die mittlere
> Länge der Folgen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] betrachtet?
Nein, nicht die mittlere Länge, sondern den Mittelwert, also einen Vektor, dessen Endpunkt auf dem Mittelpunkt der Strecke zwischen den Endpunkten von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] liegt.
Stelle es dir im dreidimensionalen Raum vor: wo liegt der Mittelpunkt für zwei unterschiedliche Vektoren?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 21.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hm und wie siehst du das, dass es nicht draus folgt?
Du kannst ein Gegenbeispiel angeben: Nimm zwei beliebige Folgen [mm] $y_1 \not= y_2$. [/mm] Dann sei [mm] $C:=\bruch{1}{2}\|y_1+y_2\|_p$. [/mm] Die Vektoren [mm] $x_1=\bruch{1}{C}y_1$ [/mm] und [mm] $x_2=\bruch{1}{C}y_2$ [/mm] sind verschieden, erfüllen aber die Voraussetzung [mm] $\|\bruch{x_1+x_2}{2}\|=1$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Hinweise und Erklärungen!
Für die (ii) hab ich nun glaub ich auch ein Gegenbeispiel gefunden:
[mm] l_1=\{ x =(x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty} |x_j| < \infty \}
[/mm]
Sei x = (1,0,0,...,0) und y = (0,1,0,...,0). Das müssen immer unendlich lange Folgen sein, oder?
Dann ist [mm] \frac{1}{2} \|x+y\| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 2 = 1 aber x [mm] \not= [/mm] y.
Ein Gegenbsp. zu [mm] l_{\infty}=\{ x =(x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sup_{j \in \mathbb{N}} < \infty \}
[/mm]
Sei x = (2,0,...,0) und y=(0,0,...,0).
Dann ist [mm] \frac{1}{2} \|x+y\| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 2 = 1 aber x [mm] \not= [/mm] y.
Stimmt das so?
Wir hatten die strik Konvexität ja schon mal für innere Produkträume gezeigt, da braucht man ja aber Normen die von einem Skalarpodukt kommen. Wie ist das hier bei den Folgenräumen? Denn wenn man das benutzen darf, kann man ja mit dem Parallelogrammgesetz die Beh. zeigen:
2 [mm] (\|x\|^2 [/mm] + [mm] \|y\|^2) [/mm] = [mm] \|x+y\|^2 [/mm] + [mm] \|x-y\|^2 [/mm] und damit ist
[mm] \frac{1}{2} \|x+y\| [/mm] = [mm] \sqrt{1 - \frac{1}{4} \|x-y\|^2} [/mm]
und wenn das gleich 1 sein soll, muss ja zwangsläufig x=y gelten.
Nur wie ist das mit den Folgenräumen und Skalarprodukt? Die [mm] \| \cdot \|_p [/mm] - Normen für 1<p< [mm] \infty [/mm] kommen ja eigentlich von einem Skalarprodukt, oder?
Viele Grüße,
Riley
PS: In einem strikt konvexen Raum muss die dann auch die Einheitskugel strikt konvex sein, oder? Nur wie lässt sich das genau begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 23.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für deine Hinweise und Erklärungen!
> Für die (ii) hab ich nun glaub ich auch ein Gegenbeispiel
> gefunden:
>
> [mm]l_1=\{ x =(x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty} |x_j| < \infty \}[/mm]
>
> Sei x = (1,0,0,...,0) und y = (0,1,0,...,0). Das müssen
> immer unendlich lange Folgen sein, oder?
>
> Dann ist [mm]\frac{1}{2} \|x+y\|[/mm] = [mm]\frac{1}{2} \cdot[/mm] 2 = 1 aber
> x [mm]\not=[/mm] y.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ein Gegenbsp. zu [mm]l_{\infty}=\{ x =(x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sup_{j \in \mathbb{N}} < \infty \}[/mm]
>
> Sei x = (2,0,...,0) und y=(0,0,...,0).
>
> Dann ist [mm]\frac{1}{2} \|x+y\|[/mm] = [mm]\frac{1}{2} \cdot[/mm] 2 = 1 aber
> x [mm]\not=[/mm] y.
>
> Stimmt das so?
Hmm, hier ist aber, entgegen der Voraussetzung, [mm] $\|x\|_\infty=2$ [/mm] und [mm] $\|y\|_\infty=0 [/mm] $. Du musst Folgen nehmen, deren betragsmäßig größte Glieder [mm] $\pm [/mm] 1 $ sind.
>
> Wir hatten die strik Konvexität ja schon mal für innere
> Produkträume gezeigt, da braucht man ja aber Normen die von
> einem Skalarpodukt kommen. Wie ist das hier bei den
> Folgenräumen? Denn wenn man das benutzen darf, kann man ja
> mit dem Parallelogrammgesetz die Beh. zeigen:
> 2 [mm](\|x\|^2[/mm] + [mm]\|y\|^2)[/mm] = [mm]\|x+y\|^2[/mm] + [mm]\|x-y\|^2[/mm] und damit
> ist
>
> [mm]\frac{1}{2} \|x+y\|[/mm] = [mm]\sqrt{1 - \frac{1}{4} \|x-y\|^2}[/mm]
>
> und wenn das gleich 1 sein soll, muss ja zwangsläufig x=y
> gelten.
>
> Nur wie ist das mit den Folgenräumen und Skalarprodukt? Die
> [mm]\| \cdot \|_p[/mm] - Normen für 1<p< [mm]\infty[/mm] kommen ja eigentlich
> von einem Skalarprodukt, oder?
Für [mm] $p\not=2$ [/mm] erfüllen die Normen nicht das Parallelogrammgesetz: Probiere es mit deinem x und y von ganz oben aus (für beliebige p)!
> PS: In einem strikt konvexen Raum muss die dann auch die
> Einheitskugel strikt konvex sein, oder? Nur wie lässt sich
> das genau begründen?
Du hast doch schon, dass die Verbindungslinie zweier Punkte auf der Oberfläche ganz in der Einheitskugel liegt. Was passiert denn für die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
danke für die Korrektur!
Ich hab nun folgendes Gegenbsp. überlegt:
x = (1,0,...,0)
y= (1,1,0,...,0),
dann ist x+y = (2,1,0,...,0) und folglich 1/2 [mm] \| [/mm] x+y [mm] \| [/mm] = 1 aber x [mm] \not= [/mm] y. Jetzt stimmt es, oder?
Hm, stimmt, mit der Verbindungslinie. Kann ich das vielleicht in Formeln so aufschreiben:
Nehme 2 Vektoren aus der Einheitskugel, also x,y mit [mm] \|x\| \leq [/mm] 1 und [mm] \|y\| \leq [/mm] 1.
Dann gilt 1/2 [mm] \|x [/mm] + y [mm] \| \leq [/mm] 1/2 [mm] \|x\| [/mm] + 1/2 [mm] \|y\| \leq [/mm] 1/2 + 1/2 = 1, liegt also auch in der Einheitskugel ?
Ja, das ist schade mit dem Parallelogrammgesetz. Aber wie kann ich es denn für 1 < p < [mm] \infty [/mm] ohne Hilfe von diesem Gesetz zeigen? Gibt es da ein allgemeineres das dabei hilft?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab gerade das ![[]](/images/popup.gif) hier ergoogelt. Allerdings versteh i ch nicht, wie man dazu kommt, sich zu überlegen, wann in den Ungleichungen Gleichheit gilt?
Ist es wegen [mm] \| [/mm] x + y [mm] \| [/mm] = [mm] \| [/mm] x [mm] \| [/mm] + [mm] \|y\| [/mm] = 1 nach Vss. ?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Di 24.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> ich hab gerade das
> hier
> ergoogelt. Allerdings versteh i ch nicht, wie man dazu
> kommt, sich zu überlegen, wann in den Ungleichungen
> Gleichheit gilt?
> Ist es wegen [mm]\| x + y \| = \| x \| + \|y\| = 1 [/mm] nach Vss. ?
Ja, bis auf die Tatsache, dass ganz rechts 2 steht. Laut Dreiecksungleichung ist die linke Seite immer [mm] $\le$ [/mm] der rechten. Nach Voraussetzung gilt die Gleichheit.
Viele Grüße,
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
hm, ist das dann schon der ganze Beweis? In der Dreiecksungleichung gilt die Gleichheit, wenn x,y lin. abhängig sind (oder x oder y = 0) und daraus lässt sich dann folgern, dass x=y gelten muss. Das war schon alles???
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Di 24.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> hm, ist das dann schon der ganze Beweis? In der
> Dreiecksungleichung gilt die Gleichheit, wenn x,y lin.
> abhängig sind (oder x oder y = 0) und daraus lässt sich
> dann folgern, dass x=y gelten muss. Das war schon alles???
Nicht ganz, denn diese Aussage über die Dreiecksungleichung gilt in unendlichdimensionalen Räumen nicht für jede beliebige Norm, wie die Beispiele [mm] $\ell_1$ [/mm] und [mm] $\ell_\infty$ [/mm] zeigen.
Aber für [mm] $1hier: die Hölderungleichung wird in diesem Fall zur Identität, und daraus ergibt sich, dass dann auch die Minkowskiungleichung (also die Dreiecksungleichung) zur Gleichung wird.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ok, dankeschön vielmals - jetzt hab ichs verstanden!
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
sorry, doch noch eine Frage dazu. Hab mir grad den Link nochmal angeschaut. Wie sieht man das aber eigentlich genau, dass bei der Minkowski-Ungleichung Gleichheit gilt wenn x und y linear abhängig sind?
In dem Link stand es ja nur für die Hölderlin dabei, oder kann man das entsprechend sehen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mi 25.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> sorry, doch noch eine Frage dazu. Hab mir grad den Link
> nochmal angeschaut. Wie sieht man das aber eigentlich
> genau, dass bei der Minkowski-Ungleichung Gleichheit gilt
> wenn x und y linear abhängig sind?
>
> In dem Link stand es ja nur für die Hölderlin dabei, oder
> kann man das entsprechend sehen?
Schau dir den Beweis an, zum Beispiel in der Wikipedia. Der ist zwar für die [mm] $L^p$ [/mm] statt [mm] $\ell_p$, [/mm] aber das überträgt sich direkt, indem du Summen statt Integrale schreibst.
Da werden zwei Ungleichungen benutzt. Die zweite ist die Hölder-Ungleichung. Die erste ist
[mm] \sum_i |x_i+y_i|^p = \sum_i |x_i+y_i| * |x_i+y_i|^{p-1} \le \sum_i (|x_i| + |y_i|) * |x_i+y_i|^{p-1} [/mm].
Da Gleichheit bei der Hölder-Ungleichung bereits [mm] $x_i [/mm] = [mm] \lambda y_i$ [/mm] für alle i impliziert und in diesem Fall auch hier das Gleichheitszeichen gilt, folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 26.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
danke für deine Antwort! So ganz klar ist es mir aber noch nicht. Warum impliziert es bei dem ersten Ungleichheitszeichen dann auch Gleichheit?
... und warum ist es bei der Hölderungleichung so? In dem ersten Link den du gepostet hattest stand eine genau dann wenn Bedingung, ich sehe aber nicht wie man dazu kommt...??
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 26.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> danke für deine Antwort! So ganz klar ist es mir aber noch
> nicht. Warum impliziert es bei dem ersten
> Ungleichheitszeichen dann auch Gleichheit?
Wenn das zweite [mm] $\le$ [/mm] sogar gleich ist, dann ist doch schon [mm] $x=\lambda [/mm] y$. Und damit ist $|x+y|=|x|+|y|$ und daher gilt auch Gleichheit beim ersten Ungleichheitszeichen.
Anders geschrieben: allgemein gilt [mm] $a\le b\le [/mm] c$. Dann ist $a=c$ genau dann, wenn $a=b$ und $b=c$. Da aber aus $b=c$ die Aussage $a=b$ folgt, folgt aus $b=c$ auch $a=c$.
> ... und warum ist es bei der Hölderungleichung so? In dem
> ersten Link den du gepostet hattest stand eine genau dann
> wenn Bedingung, ich sehe aber nicht wie man dazu
> kommt...??
Du musst den Beweis von Anfang an durchgehen, da wird mehrmals darauf hingewiesen, wann Gleichheit gilt, zum Beispiel
[mm] \bruch{u^p}{p} + \bruch{v^q}{q} = uv \gdw u^{p-1}=v \gdw u^p=v^q \text{ für }\bruch{1}{p} +\bruch{1}{q} = 1 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:18 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer!
Danke für deine Antwort und die Ausführungen. Ich würde das ganze gerne mal so "am Stück" hinschreiben. Hier steht schon der Anfang von der einen Richtung. Hast du eine Idee wie man die andere zeigen kann, oder so dass man gleich nur Äquivalenzen hat?
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 03.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
ich habe mir den Beweis hier nochmal angeschaut und verstanden, wenn man die Aussage hat dass in der Ungleichung
xy [mm] \leq \frac{x^p}{p} [/mm] + [mm] \frac{y^q}{q} [/mm] Gleichheit gilt für y = [mm] x^{p-1}.
[/mm]
Wie kommt man aber zu dieser Aussage? In dem Beweis ist es graphisch begründet, da kann ich aber nichts erkennen in der Skizze.
Und dann gilt nachdem man substituiert hat ja Gleichheit wenn
[mm] \frac{|x_i|^p}{\sum|x_i|^p} [/mm] = [mm] \frac{|y_i|^q}{\sum |y_i|^q}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x_i^p [/mm] = [mm] \lambda y_i^p \forall [/mm] i 1,...,n.
Bedeutet das so viel, wie dass [mm] \lambda [/mm] = [mm] \frac{\sum |x_i|^p}{\sum |y_i|^q}, [/mm] oder ??
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Di 03.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer!
Danke für deine Antwort! 
Zuerst hast du aber die Frage geschrieben wann die Funktion maximal wird und dann aber das Minimum berechnet?
Versteh ich das richtig, für das x, an dem die Funktion [mm] \frac{1}{xy}(\frac{x^p}{p} [/mm] + [mm] \frac{y^q}{q}) [/mm] ihr Minimum annimmt, gilt in der Ungleichung die Gleichheit? Aber warum ist das so?
Viele Grüße,
Riley
PS: Das ist nicht so wichtig, aber irgendwie hat mich das auf die Idee gebracht, dann könnte man doch eigentlich auch die Funktion
f(x) = [mm] \frac{x^p}{p} [/mm] + [mm] \frac{y^q}{q} [/mm] - xy betrachten, oder?
... und f'(x) = [mm] x^{p-1} [/mm] - y = 0 für y = [mm] x^{p-1}... [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mi 04.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer!
> Danke für deine Antwort!
> Zuerst hast du aber die Frage geschrieben wann die
> Funktion maximal wird und dann aber das Minimum berechnet?
Ich meinte minimal, sorry.
> Versteh ich das richtig, für das x, an dem die Funktion
> [mm]\frac{1}{xy}(\frac{x^p}{p}[/mm] + [mm]\frac{y^q}{q})[/mm] ihr Minimum
> annimmt, gilt in der Ungleichung die Gleichheit? Aber warum
> ist das so?
Das Minimum entspricht dem Funktionswert 1. Also ist diese Funktion [mm] $\ge [/mm] 1$ und genau dann gleich 1, wenn [mm] $y=x^{p-1}$. [/mm] Mit xy multipliziert ergibt sich die Ungleichung, die wir wollen - mit Ausnahme der Fälle $x=0$ und/oder $y=0$, die ja leicht direkt nachzuprüfen sind.
> PS: Das ist nicht so wichtig, aber irgendwie hat mich das
> auf die Idee gebracht, dann könnte man doch eigentlich auch
> die Funktion
> f(x) = [mm]\frac{x^p}{p}[/mm] + [mm]\frac{y^q}{q}[/mm] - xy betrachten,
> oder?
>
> ... und f'(x) = [mm]x^{p-1}[/mm] - y = 0 für y = [mm]x^{p-1}...[/mm] ?
Genau!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
okay super, dankeschön vielmals!
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 03.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
sorry, doch noch eine Frage, warum impliziert Gleichheit bei Hölder
[mm] x_i [/mm] = [mm] \lambda y_i [/mm] ? Wo sind die p und q geblieben?
Wie kommt man von [mm] x_i^P [/mm] = [mm] \lambda y_i^q [/mm] dahin?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 03.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> sorry, doch noch eine Frage, warum impliziert Gleichheit
> bei Hölder
> [mm]x_i[/mm] = [mm]\lambda y_i[/mm] ? Wo sind die p und q geblieben?
>
> Wie kommt man von [mm]x_i^P[/mm] = [mm]\lambda y_i^q[/mm] dahin?
Du wendest die Hölderungleichung auf [mm] $u_i=x_i$ [/mm] und [mm] $v_i=y_i^{p-1}$ [/mm] an. Gleichheit impliziert dann
[mm] u_i^p = \lambda v_i^q \gdw x_i^p = \lambda v_i^{q(p-1)} = \lambda v_i^p \gdw x_i = y_i [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:20 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
danke für die Erklärung, aber wie meinst du die Hölderungleichung auf 2 Gleichungen anzuwenden? Ich brauch doch ein Produkt um sie anzuwenden? Das versteh ich nicht, was du mit den [mm] x_i,y_i, u_i [/mm] und [mm] v_i [/mm] gemacht hast...
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
muss es vielleicht [mm] y_i [/mm] statt [mm] v_i [/mm] heißen:
[mm] x_i^p [/mm] = [mm] \lambda y_i^{q(p-1)} [/mm] = [mm] \lambda y_i^p [/mm] ?
Dann würde ich es ein bisschen mehr verstehen, nur noch nicht warum man da eine Ungleichung angewandt hat und nicht nur [mm] u_i [/mm] = [mm] x_i [/mm] und [mm] v_i [/mm] = [mm] y_i^{p-1} [/mm] gesetzt hat?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
sorry für die vielen extra Mitteilungen. Aber ich glaub ich habe nicht beachtet, dass im Beweis der Mink-Ungl. die Hölderunglg ja nicht für [mm] x_iy_i [/mm] benutzt wird, sondern für [mm] |x_i| |x_i- y_i|^{p-1} [/mm] und dann muss [mm] |x_i| [/mm] = c [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i| [/mm] sein und im zweiten Summanden entsprechend und dann müsste es hinkommen...
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 04.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> sorry für die vielen extra Mitteilungen. Aber ich glaub
> ich habe nicht beachtet, dass im Beweis der Mink-Ungl. die
> Hölderunglg ja nicht für [mm]x_iy_i[/mm] benutzt wird, sondern für
> [mm]|x_i| |x_i- y_i|^{p-1}[/mm] und dann muss [mm]|x_i|[/mm] = c [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i|[/mm]
> sein und im zweiten Summanden entsprechend und dann müsste
> es hinkommen...
Genauso!
Ich muss gestehen, es war auch für mich eine gute Übung, alle Schritte aufzudröseln.
Viele Grüße,
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Do 05.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
gut dann bin ich ja beruhigt . War wirklich gut das ganze mal durch zu denken, sonst wird das immer so schnell abgetan...
Danke nochmal für deine Hilfe dabei!
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Di 24.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]l_1=\{ x =(x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty} |x_j| < \infty \}[/mm]
>
> Sei x = (1,0,0,...,0) und y = (0,1,0,...,0). Das müssen
> immer unendlich lange Folgen sein, oder?
eine Folge ist eine Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] Y$ für eine Menge [mm] $Y\not=\emptyset\,,$ [/mm] und eine jede solche $Y$-wertige Folge $f: [mm] \IN \to [/mm] Y$ kann man mit einem unendlichen Vektor $(f(1),f(2),f(3),.,.,.,...)$ identifizieren (und umgekehrt) (und in diesem Sinne auch den unendlichen Vektor $(f(1),f(2),f(3),.,.,.)$ als Folge [mm] $\,f$ [/mm] bezeichnen).
(Dieser Vektor hat selbsverständlich dann abzählbar unendlich viele Komponenten, weil [mm] $\IN$ [/mm] abzählbar unendlich ist.)
Deine Schreibweise $x=(1,0,0,...,0)$ ist schlecht bishin zu falsch, denn diese würde bedeuten, dass die 'Abbildung' $x$ nur endlich viele Komponenten hätte, oder anders ausgedrückt: Man würde bei $x=(1,0,0,...,0)$ nicht $x$ als Abbildung $x: [mm] \IN \to [/mm] Y$ auffassen, sondern 'nur' $x: [mm] \{1,...,m\} \to [/mm] Y$ mit einer festen Zahl $m [mm] \in \IN$.
[/mm]
Du solltest also oben
$$x=(1,0,0,0,.,.,.,...)$$
und
$$y=(0,1,0,0,0,.,.,...)$$
schreiben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Marcel,
vielen Dank für den Hinweis, da hast du natürlich Recht!!
Viele Grüße,
Riley
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