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untersuche folgende funktionen auf ihre stetigkeit in punkt a!
1)
x³-2x-5 , in a=2
2)
f(x):= x² * sgn (x), in a=0
3)
f(x):= x + sgn(x), in a=0
in punkt a=4
hallo an alle,
also die aufgabe sagt ja, das ich die funktionen auf ihre stetigkeit an einer bestimmten stelle unterscuchen soll.
dies habe ich bei der 1. gemacht. ich habe zuerst die 2 in die funktion eingesetzt, sodass ich f(2) berechnet habe. rausbekommen habe ich -1.
daraufhin habe ich ausgegangen vom punkt 2 die umgebung untersucht, also lim h--> 0 untersucht. einmal 2+h, einmal 2-h. hier habe ich jeweils 7 rausbekommen. damit die funktion aber stetig wird, müsste ich ja -1 haben müssen, oder?????
bei den signum funktionen, weiss ich leider nicht bescheid. würde mich hier wirklich freuen, wenn mir es jemand erklären würde.
auch bei der partiellen funktion sehe ich schwarz.
wenn mir jemand helfen kann, möchte, schoin im voraus danke. natürlich auch an alle anderen.......:)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Eine Funktion ist an der Stelle a stetig, wenn:
1. a zum Definitionsbereich gehört
2. [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] existiert
3. [mm] \limes_{x\rightarrow\ a}=f(a)
[/mm]
Für die 1. Aufgabe:
f(x)=x³-2x-5, a=2
1. Ja, 2 gehört zu [mm] D_{f}
[/mm]
2. Der Grenzwert existiert, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Das musst du kontrollieren.
3. Wenn 2. zutrifft, kannst du das auch testen.
2. Aufgabe:
[mm] f(x)=x²\*sgn [/mm] (x), a=0
1. Ja, [mm] 0\in D_{f}
[/mm]
2. Hier musst du wieder testen... linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert.
sgn(x) kann ja nur die Werte -1, 0, 1 annehmen.
[mm] sgn(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{>0} \end{cases}
[/mm]
Wenn man sich der 0 jetzt von links nährt (x<0), würde f(x)=-x² sein, da sgn(x) immer nur -1 ist. Bei x=0 ist y=0 und bei x>0 wäre die Funktion f(x)=x².
Aber dennoch gehen links-/rechtsseitiger Grenzwert gegen 0 und f(0)=0.
Damit stimen 2. und 3. und die Funktion ist stetig.
Aufgabe 3:
f(x)=x+sgn(x), a=0 und a=4
Erstmal mit 0:
1. Siehe oben ;)
2. Die Funktion lautet für x<0:
f(x)=x-1, für x=0 ist y=0 und für x>0: f(x)=x+1.
Nunja, wenn man sich die Funktion zeichnen würde, würde mans chon sehen, dass sie nicht stetig ist.
Oder man betrachtet wieder links-/rechtsseitigen Grenzwert.
linksseitig: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}(x-1)=-1
[/mm]
rechtsseitig: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}(x+1)=1
[/mm]
stimmen nicht überein [mm] \Rightarrow [/mm] Funktion ist nicht stetig.
3. Unnötig das zu kontrollieren, da jetzt schon feststeht, dass f(x) bei a=0 keinen Grenzwert hat.
Jetzt für 4:
1. Jop.
2. Nähert man sich der 4, dann ist x>0.
Also muss man nur die Teilfunktion (ich nenne das einfach mal so, wenn das falsch ist, dann bitte sagen ;)): f(x)=x+1 betrachten. Nunja, hier werden recht-/linksseitiger Grenzwert übereinstimmen, da es sich ja nur um eine lineare Funktion handelt...
3. Wird wohl auch zutreffen.
Also ist die Funktion bei x=0 unstetig, aber bei x=4 stetig. Insgesamt ist sie damit unstetig.
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