stochastische Landau-Symbole < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 25.02.2015 | | Autor: | ito |
| Aufgabe | Gilt [mm] $Y_n=O_P(n^{-\alpha})$ [/mm] mit [mm] $\alpha>0$ [/mm] so folgt, dass [mm] $Y_n=o_P(n^{-\alpha+t})$ [/mm] füt $t>0$.
zu den Symbolen:
[mm] $O_P(R_n)=O_P(1)R_n$, [/mm] wobei [mm] $O_P(1)$ [/mm] für beschränkt in Wahrscheinlichkeit steht und
[mm] $o_P(R_n)=o_P(1)R_n$, [/mm] wobei [mm] $o_P(1)$ [/mm] für Konvergenz in Wkt. gegen 0 steht. |
Hallo zusammen,
habe die Aussage als Randnotiz in einem Statistik Buch gefunden.
Intuitiv ist die Aussage logisch, würde diese aber gerne beweisen...
Gibt es vllt. irgendetwas, wie das Slutsky-Lemma, dass die Aussage impliziert?
Oder hat jemand eine Idee, wie ich es beweisen kann?!
Ich selbst hatte mir dazu die Regel [mm] $o_P(1)O_P(1)=o_P(1)$ [/mm] aufgeschrieben, verstehe aber nicht mehr wieso...
Vielen Dank und viele Grüße
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Hiho,
der zweite Teile deiner Fragestellung macht so gar keinen Sinn.
Desweiteren habe ich nur eine Definition der Landau-Symbole gefunden, die deiner etwas widerspricht, denn du schreibst:
> wobei $ [mm] O_P(1) [/mm] $ für beschränkt in Wahrscheinlichkeit steht
Ich habe nur gefunden, dass O(1) für fast sichere Beschränktkeit steht, [mm] O_P(1) [/mm] jedoch für Straffheit.
Was soll denn nun gelten?
Und: Was soll "beschränkt in Wahrscheinlichkeit" sein? Vielleicht meinst du damit ja die Straffheit.
Desweiteren hättest du die Landau-Symbolik etwas besser vorstellen können. Es tauchen Symbole auf wie [mm] $O_P(n^{-\alpha})$, [/mm] du gibst aber nur an, was O(1) ist.
Das ist in etwa so wie: "Ich möchte f(x) zeichnen, und es gilt f(1) = 27, könnt ihr mir helfen?"
Um ein paar Formeln zur Definition wirst du also nicht umhin kommen, da reicht es übrigens mal aufzuschreiben:
Was heißt $ [mm] Y_n=O_P(n^{-\alpha}) [/mm] $ und was bedeutet $ [mm] Y_n=o_P(n^{-\alpha+t}) [/mm] $, dann wird dir sicherlich auch schnell geholfen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Do 26.02.2015 | | Autor: | ito |
alles klar...
[mm] $Y_n=O_P(n^{-\alpha})=n^{-\alpha} O_P(1)$,
[/mm]
wobei [mm] $X_n=O_P(1)$ [/mm] bedeutet, dass zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert eine Konstante $M$, so dass [mm] $\sup_n P(|X_n|>M)<\epsilon$
[/mm]
[mm] $Y_n=o_P(n^{-\alpha})=n^{-\alpha} o_P(1)$,
[/mm]
wobei [mm] $X_n=o_P(1)$ [/mm] bedeutet, dass für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gilt $ [mm] P(|X_n|>\epsilon) \to [/mm] 0$
Vielen Dank!
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Hiho,
> alles klar...
> [mm]Y_n=O_P(n^{-\alpha})=n^{-\alpha} O_P(1)[/mm],
> wobei [mm]X_n=O_P(1)[/mm]
> bedeutet, dass zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] existiert eine Konstante
> [mm]M[/mm], so dass [mm]\sup_n P(|X_n|>M)<\epsilon[/mm]
>
> [mm]Y_n=o_P(n^{-\alpha})=n^{-\alpha} o_P(1)[/mm],
> wobei [mm]X_n=o_P(1)[/mm]
> bedeutet, dass für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] gilt [mm]P(|X_n|>\epsilon) \to 0[/mm]
Das sieht doch schon mal besser aus, aber hingeschrieben, was du hast und was du zeigen sollst, hast du noch immer nicht....
Du hast:
[mm] $Y_n \in O_P\left(n^{-\alpha}\right)$, [/mm] d.h. es gilt:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\; \exists \,M_\varepsilon:\quad \sup_n P\left(\bruch{|X_n|}{n^{-\alpha}} > M_\varepsilon\right) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
z.z.:
[mm] $\forall\,\delta>0:\quad P\left(\bruch{|X_n|}{n^{-\alpha+t}} > \delta\right) \to [/mm] 0$
Jetzt schreibe dir mal mit Hilfe der Definition des Grenzwerts hin, was [mm] $a_n \to [/mm] 0$ bedeutet (Tipp: Es hat was mit kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] zu tun!), Nutze aus, dass [mm] $\bruch{|X_n|}{n^{-\alpha+t}} [/mm] = [mm] \bruch{|X_n|}{n^{-\alpha}}*\bruch{1}{n^t}$ [/mm] und verwende die Voraussetzung.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Do 26.02.2015 | | Autor: | ito |
ich würde es so verstehen
$ [mm] Y_n [/mm] = [mm] O_P\left(n^{-\alpha}\right) [/mm] $, d.h. es gilt:
$ [mm] \forall\,\varepsilon>0\; \exists \,M_\varepsilon:\quad \sup_n P\left(|Y_n|n^\alpha > M_\varepsilon\right) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
Ich muss dazu sagen, dass ich noch nicht mit den Symbolen gearbeitet habe... Aber der Tipp mit den Definitionen zuarbeiten sieht vielversprechend aus.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Do 26.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> ich würde es so verstehen
> [mm]Y_n = O_P\left(n^{-\alpha}\right) [/mm], d.h. es gilt:
>
> [mm]\forall\,\varepsilon>0\; \exists \,M_\varepsilon:\quad \sup_n P\left(|Y_n|n^\alpha > M_\varepsilon\right) < \varepsilon[/mm]
Da hast du recht, ändert aber nichts am Vorgehen.
Es ist für den Beweis sogar recht unerheblich, ob [mm] $\alpha>0$ [/mm] gegeben ist, oder nicht.
Gruß,
Gono
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