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| Aufgabe | Es sei [mm] (\Omega,P) [/mm] ein W-Raum und [mm] A,B\subseteq\Omega [/mm] beliebig.
a) Es sei A [mm] \subseteq [/mm] B. Für welche A,B sind A und B stochastisch unabhängig?
b) Es sei A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset. [/mm] Für welche A,B sind A und B stochastisch unabhängig?
c) Zeigen Sie:
A und B sind stoch. unabhängig [mm] \gdw A^C [/mm] unn B sind stoch. unabhängig
[mm] \gdw [/mm] A und [mm] B^C [/mm] sind stoch. unabhängig
[mm] \gdw A^C [/mm] und [mm] B^C [/mm] sind stoch. unabhängig |
Hallo,
also bei der Aufgabe c) habe ich denke ich eine gute Lösung, wenn ihr wollt, kann ich diese auch noch mal hier rein stellen.
Leider stehe ich aber bei Aufgabenteil a) und b) total auf dem Schlauch und wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei helfen könnt.
Vielen Dank im Vorraus und liebe Grüße
Katti
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Hallo Katti,
> Es sei [mm](\Omega,P)[/mm] ein W-Raum und [mm]A,B\subseteq\Omega[/mm]
> beliebig.
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> a) Es sei A [mm]\subseteq[/mm] B. Für welche A,B sind A und B
> stochastisch unabhängig?
> b) Es sei A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset.[/mm] Für welche A,B sind A und
> B stochastisch unabhängig?
> c) Zeigen Sie:
> A und B sind stoch. unabhängig [mm]\gdw A^C[/mm] unn B sind stoch.
> unabhängig
> [mm]\gdw[/mm] A und [mm]B^C[/mm] sind
> stoch. unabhängig
> [mm]\gdw A^C[/mm] und [mm]B^C[/mm] sind
> stoch. unabhängig
> Hallo,
>
> also bei der Aufgabe c) habe ich denke ich eine gute
> Lösung, wenn ihr wollt, kann ich diese auch noch mal hier
> rein stellen.
> Leider stehe ich aber bei Aufgabenteil a) und b) total auf
> dem Schlauch und wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir
> dabei helfen könnt.
>
> Vielen Dank im Vorraus und liebe Grüße
>
> Katti
Zwei Ereignisse [mm]A,B[/mm] sind stoch. unabh., wenn [mm]P(A\cap B)=P(A)P(B)[/mm], oder?
Was ist denn bei a) los? [mm]A\subseteq B[/mm] bedeutet doch [mm]A\cap B=A[/mm]
Also [mm]P(A\cap B)=P(A)...[/mm]
Und bei b) [mm]P(A\cap B)=P(\emptyset)=...[/mm]
Na? Ne Idee?
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
erst Mal vielen Dank für deine Hilfe!
Also ich habe jetzt folgendes für a):
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A)
P(A) = P(A)*P(B)
[mm] \bruch{P(A)}{P(B)}=P(B)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1=P(B) [mm] \Rightarrow [/mm] P(A)=??
Was heißt das für mein P(A)?
und bei der b):
A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \emptyset P(\emtyset)=0
[/mm]
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A)*P(B)
[mm] P(\emptyset)= [/mm] P(A)*P(B)
0= P(A)*P(B)
[mm] \Rightarrow [/mm] Eins der beiden, also P(A) oder P(B) muss null sein
Aber irgendwie bin ich mit dem was ich habe, noch sehr unzufrieden..
Lieben Gruß Katti
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 So 25.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Katti!
> Also ich habe jetzt folgendes für a):
Wegen
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A)
(Tippfehler: Es muss [mm] $\cap$ [/mm] statt [mm] $\cup$ [/mm] heißen.)
sind A und B genau dann stochastisch unabhängig, wenn
> P(A) = P(A)*P(B)
gilt.
> [mm]\bruch{P(A)}{P(B)}=P(B)[/mm]
Du meinst vermutlich [mm] $\bruch{P(A)}{P(\red{A})}=P(B)$.
[/mm]
Im Falle [mm] $P(A)\not=0$ [/mm] ist $P(A)=P(A)*P(B)$ in der Tat äquivalent zu [mm] $\bruch{P(A)}{P(A)}=P(B)$.
[/mm]
Der Fall $P(A)=0$ ist bei deiner Vorgehensweise separat zu untersuchen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1=P(B)
Folgerichtig.
[mm]\Rightarrow[/mm] P(A)=??
>
> Was heißt das für mein P(A)?
Wenn deine Argumentation vollständig korrekt wäre, hättest du überlegt, dass im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ die Ereignisse A und B nur dann stochastisch unabhängig sein können, wenn $P(B)=1$ gilt.
Weiter wäre zu überlegen, ob umgekehrt im Falle P(B)=1 die Ereignisse A und B stets stochastisch unabhängig sind.
> und bei der b):
In der Situation von b) gilt
> A [mm]\cup[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm]
(Wieder muss es [mm] $\cap$ [/mm] statt [mm] $\cup$ [/mm] heißen.)
und
> [mm]P(\emptyset)=0[/mm]
Somit sind folgende Bedingungen zur stochastischen Unabhängigkeit von A und B äquivalent:
> P(A [mm]\cup[/mm] B) =
> P(A)*P(B)
> [mm]P(\emptyset)=[/mm] P(A)*P(B)
> 0= P(A)*P(B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eins der beiden, also P(A) oder P(B) muss null
> sein
Ja.
Es gilt sogar [mm] $\gdw$ [/mm] anstelle von [mm] $\Rightarrow$.
[/mm]
Damit ist gezeigt: Im Falle [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] sind A und B genau dann stochastisch unabhängig, wenn $P(A)=0$ oder $P(B)=0$ gilt.
Viele Grüße
Tobias
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