stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Di 19.01.2010 | | Autor: | deniz87 |
Hallo zusammen,
Und zwar heißt eine Abbildung [mm] h:\IR^n\times\IR^m\to\IR^k [/mm] bilinear, falls für alle [mm] x_{1},x_{2}\in\IR^n, y_{1},y_{2}\in\IR^m [/mm] und [mm] a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in\IR [/mm] gilt
[mm] h(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2},y_{1}) [/mm] = [mm] a_{1} h(x_{1},y_{1})+a_{2} h(x_{2},y_{1}) [/mm] und
[mm] h(x_{1},b_{1} y_{1}+b_{2}y_{2}) =b_{1} h(x_{1},y_{1})+b_{2} h(x_{1},y_{2}) [/mm]
Z. Z ist nun dass solche bilineare Abbildungen immer stetig sind. Könnt ihr mir sagen, wie man an solch eine Aufgabe am besten rangeht? Beweist man die Setigkeit mit der [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Defnition. oder ganz anders?
Viele Grüße
deniz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 24.01.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo deniz,
zunächst weiß man ja, dass es reicht zu zeigen, dass alle Komponentenfunktionen stetig sind, also die k-vielen Abbildungen in den [mm] \IR.
[/mm]
Natürlich ist jede der Komponentenfunktionen wieder bilinear, somit reduziert sich die Aufgabenstellung auf bilineare Funktionen vom [mm] \IR^{n} [/mm] x [mm] \IR^{m}->\IR. [/mm]
Jetzt läßt sich neben dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium vielleicht einfacher das Folgenkriterum anwenden. Wenn also [mm] x^{i} [/mm] -> x (Folgenindex i oben), dann auch [mm] (x_{n},x_{m})^{i} [/mm] -> x und auch [mm] (x_{n}^{i},x_{m}^{i}) [/mm] -> [mm] (x_{n},x_{m}). [/mm] Betrachtet man nun [mm] f(x^{i}) [/mm] - f(x) läßt sich dies aufgrund der Bilinearität in [mm] f(x_{n}^{i} [/mm] - [mm] x_{n}, x_{m}^{i} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] umformen. Ich denke dann ist der Schluß nicht mehr fern.
Gruß
Uli
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