stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 08.01.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Fkt. f: [mm] \IC*\to \IC, [/mm] f(z)= [mm] \bruch{z- \overline{z}}{|z|^q} [/mm] für alle [mm] q\in \IQ [/mm] stetig ist, wobei [mm] \IC*:=\IC\{0}. [/mm] |
hallo
kann mir jemand eine art fahrplan geben, wie ich bei der untersuchung von stetigkeit vorgehen sollte? ich kenne die [mm] \epsilon- \delta [/mm] -definition, kann mir sie auch vorstellen, doch beweise damit führen...???
zu f fällt mir ein, dass ich mal gesehen hab, dass [mm] |z|^q [/mm] stetig ist in [mm] \IC\{0}. [/mm] (beweisen kann ich es eben nicht). könnte ich f praktisch zerlegen und wenn ich zeige, dass sowohl der nenner als auch der zähler stetig sind, dann ist auch f stetig??
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 08.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Theoretisch kannst du es direkt mit dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] zeigen, aber das wird u.U. schwierig. Elegant wäre es natürlich wirklich zu zeigen:
1) Die Abbildungen [mm] $z\mapsto [/mm] z$, [mm] $z\mapsto \overline{z}$, $z\mapsto [/mm] |z|$ und [mm] $z\mapsto z^q$ [/mm] sind stetig [mm] (q\in\IQ [/mm] beliebig)
2) Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig.
3) für stetiges [mm] $f\ne [/mm] 0$ ist auch $1/f$ stetig.
4) Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
Das eine oder andere müsstet ihr in der Vorlesung eigentlich gehabt haben!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 08.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ist denn [mm] z\mapsto z^a, [/mm] beliebiges [mm] a\in \IR, [/mm] nicht stetig - oder warum die Beschränkung auf [mm] q\in \IQ [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | pelzig |
[mm] $\IR\ni x\mapsto x^r\in\IR$ [/mm] ist stetig für alle [mm] $r\in\IR$ [/mm] - danke Fred.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Theoretisch kannst du es direkt mit dem
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium zeigen, aber das wird u.U.
> schwierig. Elegant wäre es natürlich wirklich zu zeigen:
> 1) Die Abbildungen [mm]z\mapsto z[/mm], [mm]z\mapsto \overline{z}[/mm],
> [mm]z\mapsto |z|[/mm] und [mm]z\mapsto z^q[/mm] sind stetig [mm](q\in\IQ[/mm]
Mit der Stetigkeit von [mm]z\mapsto z^q[/mm] auf [mm] \IC [/mm] bin ich nicht einverstanden.
Auf [mm] \IC [/mm] gibt es z.B. keine eindeutige Wurzelfunktion [mm]z\mapsto z^{1/2}[/mm]
Da benötigt man schon Riemannsche Flächen
FRED
> beliebig)
> 2) Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig.
> 3) für stetiges [mm]f\ne 0[/mm] ist auch [mm]1/f[/mm] stetig.
> 4) Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
>
> Das eine oder andere müsstet ihr in der Vorlesung
> eigentlich gehabt haben!
>
> Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 08.01.2009 | | Autor: | gigi |
> Theoretisch kannst du es direkt mit dem
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium zeigen, aber das wird u.U.
> schwierig. Elegant wäre es natürlich wirklich zu zeigen:
> 1) Die Abbildungen [mm]z\mapsto z[/mm], [mm]z\mapsto \overline{z}[/mm],
> [mm]z\mapsto |z|[/mm] und [mm]z\mapsto z^q[/mm] sind stetig [mm](q\in\IQ[/mm]
> beliebig)
> 2) Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig.
> 3) für stetiges [mm]f\ne 0[/mm] ist auch [mm]1/f[/mm] stetig.
> 4) Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
>
> Das eine oder andere müsstet ihr in der Vorlesung
> eigentlich gehabt haben!
>
> Gruß, Robert
ja, genau, 2)bis 4) hab ich im buch auch gefunden, bin nur in der anwendung nicht sicher. handelt es sich hier um eine verkettung oder wende ich 3) an für den nenner??und für den zähler die 2)?
da verbleibt immer noch der beweis für die einzelnen bestandteile. [mm] z\to [/mm] z ist stetig, da muss ich nix beweisen, oder? und kann ich daraus nicht auch folgern, dass [mm] z\mapsto \overline{z} [/mm] stetig? und folglich auch das quadrat davon. und für den nenner? aber das sind hier eben alles nur überlegungen, keine handfesten beweise--wie mach ichs richtig?
besten dank, tschau
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 08.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Theoretisch kannst du es direkt mit dem
> > [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium zeigen, aber das wird u.U.
> > schwierig. Elegant wäre es natürlich wirklich zu zeigen:
> > 1) Die Abbildungen [mm]z\mapsto z[/mm], [mm]z\mapsto \overline{z}[/mm],
> > [mm]z\mapsto |z|[/mm] und [mm]z\mapsto z^q[/mm] sind stetig [mm](q\in\IQ[/mm]
> > beliebig)
> > 2) Summen und Produkte stetiger Funktionen sind
> stetig.
> > 3) für stetiges [mm]f\ne 0[/mm] ist auch [mm]1/f[/mm] stetig.
> > 4) Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
> >
> > Das eine oder andere müsstet ihr in der Vorlesung
> > eigentlich gehabt haben!
> >
> > Gruß, Robert
>
> ja, genau, 2)bis 4) hab ich im buch auch gefunden, bin nur
> in der anwendung nicht sicher. handelt es sich hier um
> eine verkettung oder wende ich 3) an für den nenner??und
> für den zähler die 2)?
> da verbleibt immer noch der beweis für die einzelnen
> bestandteile. [mm]z\to[/mm] z ist stetig, da muss ich nix beweisen,
> oder?
das kann man schon beweisen, es ist nur banal. Zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ setzt man einfach [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] und erkennt damit sogar, dass $z [mm] \mapsto [/mm] z$ glm. stetig auf [mm] $\IC$ [/mm] ist. Insbesondere also (glm.) stetig auf [mm] $\IC \setminus\{0\}$. [/mm] Weil das so banal ist, würde ich mich hier dafür entscheiden, einfach zu schreiben: Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so erkennt man mit der Wahl [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] sofort die glm. Stetigkeit von $z [mm] \mapsto [/mm] z$ auf [mm] $\IC$ [/mm] und damit insbesondere die Stetigkeit auf [mm] $\IC \setminus\{0\}$.
[/mm]
> und kann ich daraus nicht auch folgern, dass [mm]z\mapsto \overline{z}[/mm]
> stetig?
Doch, auch das ginge, wenn man weiß, dass $z [mm] \mapsto |z|^2$ [/mm] stetig ist (das ist wiederum mit dem Verkettungssatz banal, wenn man weiß, dass $z [mm] \mapsto [/mm] |z|$ und $z [mm] \mapsto z^2$ [/mm] stetig auf [mm] $\IC$ [/mm] sind). Aber auch so ist das fast eine Banalität, denn:
$|w-z| < [mm] \delta \Rightarrow |\overline{w}-\overline{z}|=|\overline{w-z}|=|w-z| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
zeigt wieder sofort, dass zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ dann [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] geeignet ist und man damit insbesondere die glm. Stetigkeit von $z [mm] \mapsto \overline{z}$ [/mm] erhält.
Und auch hier würde ich dann einfach schreiben:
Wegen [mm] $|\overline{w}-\overline{z}|=|\overline{w-z}|=|w-z|$ [/mm] erkennt man sofort, dass $z [mm] \mapsto \overline{z}$ [/mm] (sogar glm.) stetig auf [mm] $\IC$ [/mm] ist und damit insbesondere stetig auf [mm] $\IC \setminus\{0\}$.
[/mm]
> und folglich auch das quadrat davon. und für den
> nenner? aber das sind hier eben alles nur überlegungen,
> keine handfesten beweise--wie mach ichs richtig?
Es fehlt dann doch nur noch eine Begründung dazu, dass [mm] |z|^q [/mm] stetig auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] ist. Dass $z [mm] \mapsto [/mm] |z|$ stetig ist, erkennt man sehr leicht mit der Dreiecksungleichung (oder auch mit [mm] $|z|=\sqrt{z*\overline{z}}$). [/mm] Und nun solltest Du Dir überlegen, dass $z [mm] \mapsto z^q$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR_{> 0}$ [/mm] (oder meinetwegen auch [mm] $\IR_{\ge 0}$) [/mm] ist. Damit bist Du dann fertig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 08.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Theoretisch kannst du es direkt mit dem
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium zeigen, aber das wird u.U.
> schwierig. Elegant wäre es natürlich wirklich zu zeigen:
> 1) Die Abbildungen [mm]z\mapsto z[/mm], [mm]z\mapsto \overline{z}[/mm],
> [mm]z\mapsto |z|[/mm] und [mm]z\mapsto z^q[/mm] sind stetig [mm](q\in\IQ[/mm]
> beliebig)
bei einer Aussage ist Vorsicht geboten:
Die Funktion $z [mm] \mapsto z^q$ [/mm] sollte man nicht auf [mm] $\IC$ [/mm] betrachten, sondern auf [mm] $\IR_{\ge 0}$. [/mm] Dort ist sie sicher stetig. Auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] betrachtet müßte man sich etwas mehr Gedanken dazu machen, wie die Funktion überhaupt, für $z < 0$, genauer aussehen sollte (was wäre z.B. dann [mm] $(-1)^{1/4}$?). [/mm] Das wird dann irgendwie unnötig kompliziert; zumal es eh ausreicht, die Einschränkung von $z [mm] \mapsto z^q$ [/mm] auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] zu betrachten.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 08.01.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | für welches q [mm] \in \IQ [/mm] ex. eine stetige fortsetzung von f nach [mm] \IC? [/mm] |
gut, super.
noch eine frage: für welches q [mm] \in \IQ [/mm] ex. eine stetige fortsetzung von f nach [mm] \IC?
[/mm]
hier weiß ich gar nicht, was ich überlegen muss! geht es um die stelle 0??
besten dank für erklärungen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Do 08.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für welches q [mm]\in \IQ[/mm] ex. eine stetige fortsetzung von f
> nach [mm]\IC?[/mm]
> gut, super.
>
> noch eine frage: für welches q [mm]\in \IQ[/mm] ex. eine stetige
> fortsetzung von f nach [mm]\IC?[/mm]
>
> hier weiß ich gar nicht, was ich überlegen muss! geht es um
> die stelle 0??
ja genau. Du weißt ja nun, dass für jedes $q [mm] \in \IQ$ [/mm] die obige Funktion [mm] $f=f_q$ [/mm] stetig auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] ist (dort ist sie ja nur definiert). Und genau dann kannst Du [mm] $f(z)=f_q(z)$ [/mm] stetig auf [mm] $\IC$ [/mm] fortsetzen, wenn Du weißt, dass [mm] $\lim_{z \to 0} f_q(z)$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] existiert, und dann setzt Du [mm] $f_q(0):=\lim_{z \to 0}f_q(z)$.
[/mm]
(Die Notation [mm] $\lim_{z \to 0}f(z)$ [/mm] ist hier als [mm] $\lim_{0 \not=z \to 0}f(z)$ [/mm] zu verstehen. Meist ergibt sich das aus der Definition von [mm] $\lim_{z \to z_0}f(z)$, [/mm] wobei [mm] $z_0$ [/mm] ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von $f$ ist.)
Ich mache Dir mal zwei einfache Beispiele vor (allerdings mit [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] und [mm] $\IR$, [/mm] aber die prinzipielle Vorgehensweise ist die gleiche):
Wir betrachten [mm] $f(x):=\text{sign}(x)$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$. [/mm] $f$ ist stetig. Leider existiert hier [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] nicht und daher ist $f$ nicht stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortsetzbar.
Wir betrachten auch mal $g(x):=1$ auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$. [/mm] Auch $g$ ist stetig und es gilt [mm] $\lim_{x \to 0} [/mm] g(x)=1 [mm] \;(\in \IR)$. [/mm] Und daher ist mit $g(0):=1$ dann auch die auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzte Funktion (die wir auch $g$ nennen) stetig.
Deine Funktion [mm] $f=f_q$ [/mm] ist nicht ganz so einfach, aber prinzipiell ist es nun Deine Aufgabe, zu überlegen, ob es $q [mm] \in \IQ$ [/mm] gibt (und (alle) diese(s), falls existent, anzugeben), so dass [mm] $\lim_{z \to 0}f_q(z)$ [/mm] (in [mm] $\IC$) [/mm] existiert (also [mm] $\lim_{z \to 0}|f_q(z)|$ [/mm] darf auch nicht [mm] $\infty$ [/mm] sein).
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:52 Fr 09.01.2009 | | Autor: | gigi |
bedeutet das im prinzip, dass ich den links- und rechtsseitigen grenzwert an der nicht definierten stelle ermitteln muss- wenn diese übereinstimmen, so ist die fkt stetig fortsetzbar?
für mein f würde ich mal auf q=0 tippen, denn dann steht im nenner immer 1 und das ist ja definiert. stimmt das? wenn nicht, wie sollte ich dann vorgehen?
gruß und danke
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> bedeutet das im prinzip, dass ich den links- und
> rechtsseitigen grenzwert an der nicht definierten stelle
> ermitteln muss- wenn diese übereinstimmen, so ist die fkt
> stetig fortsetzbar?
Hallo,
den Grenzwert für z=x+iy [mm] \to [/mm] 0 mußt Du ermitteln, bzw. klären, ob er existiert.
Was sollte für [mm] z\in \IC [/mm] von rechts oder von links sein?
Gruß v. Angela
> für mein f würde ich mal auf q=0 tippen, denn dann steht
> im nenner immer 1 und das ist ja definiert. stimmt das?
> wenn nicht, wie sollte ich dann vorgehen?
>
> gruß und danke
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:47 Fr 09.01.2009 | | Autor: | gigi |
heißt das nun, dass meine überlegungen von oben richtig oder falsch sind?
ich meine, dass die fkt stetig fortsetzbar ist, wenn die grenzwerte rechts und links übereinstimmen. und wenn ich die fkt [mm] |z|^q [/mm] hernehme, dann ist die 0 definiert, wenn q gerade ist (einschließlich der 0). geht es so?
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[mm] \IC [/mm] ist doch nicht auf einer Geraden darstellbar. Angela hatte schon gefragt, was Du denn mit rechts und links hier meinst - hier: in der Zahlenebene.
Da kann ich noch die Zusatzfrage stellen: wann ist eine rationale Zahl "gerade"?
lg,
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 09.01.2009 | | Autor: | gigi |
achso, nun versteh ich, was ihr meint: ich dachte die ganze zeit an die werte, die etwas größer/kleiner sind als 0, an rechs/-linksseitigen gw--das existiert aber nur in [mm] \IR [/mm] oder?
in [mm] \IC [/mm] musste ich allerdings noch nie einen gw berechnen, habe keine ahnung, wie ich vorgehen muss. habe erst z durch x+iy ersetzt, aber das hilft mir auch nicht weiter, dann weiß ich noch, dass [mm] |z|^q= \wurzel{z\overline{z}}^q=\wurzel{x^2+y^2}^q
[/mm]
wär nett, wenn mir jemand erklärt, wie ich denken+rechnen sollte
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gigi,
> achso, nun versteh ich, was ihr meint: ich dachte die
> ganze zeit an die werte, die etwas größer/kleiner sind als
> 0, an rechs/-linksseitigen gw--das existiert aber nur in
> [mm]\IR[/mm] oder?
> in [mm]\IC[/mm] musste ich allerdings noch nie einen gw berechnen,
> habe keine ahnung, wie ich vorgehen muss. habe erst z durch
> x+iy ersetzt, aber das hilft mir auch nicht weiter, dann
> weiß ich noch, dass [mm]|z|^q= \wurzel{z\overline{z}}^q=\wurzel{x^2+y^2}^q[/mm]
>
> wär nett, wenn mir jemand erklärt, wie ich denken+rechnen
> sollte
das geht prinzipiell genau wie im Reellen, man darf sich nur nicht auf Richtungen verbarrikadieren, sondern sollte sich entweder auf Umgebungen um die $0$ (im [mm] $\IR^2$ [/mm] (isomorph zu [mm] $\IC$)) [/mm] konzentrieren, oder aber auf "Kurven im [mm] $\IR^2$ [/mm] , die auf die $0=(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] zulaufen". (Noch besser steht das unten in [mm] $(\star)$.)
[/mm]
(Beachte, dass man [mm] $\IC$, [/mm] wie allg. üblich, mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizieren kann, indem man $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $x+i*y [mm] \in \IR+i*\IR=\IC$ [/mm] identifiziert.)
Es ist zu klären, für genau welche $q [mm] \in \IQ$ [/mm] der [mm] $\lim_{0 \not=z \to 0}f_q(z)$ [/mm] (bzw. kurz [mm] $\lim_{z \to 0}f_q(z)$) [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] existiert.
Entweder machst Du das ganze mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$-$z_0$ [/mm] (wobei hier [mm] $z_0=0$ [/mm] ist), oder aber, m.E. nach besser, mit Folgen. Dabei hilft Dir der folgende, in der Analysis gängige, Satz (eigentlich gilt dieser allgemeiner, die hier stehende Version ist Deiner Situation angepasst):
[mm] $(\star)$ [/mm] Der Grenzwert [mm] $\lim_{z \to 0} f_q(z)$ [/mm] existiert genau dann, wenn für jede Folge [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $z_n \not=0$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty} z_n=0$ [/mm] auch der Grenzwert [mm] $\lim_{n \to \infty}f_q(z_n)$ [/mm] existiert (und dann ist der letztstehende Grenzwert auch für alle solchen [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gleich).
Es ist also nur noch zu klären, für welche $q [mm] \in \IQ$ [/mm] die folgende Folgerung stimmt:
Ist [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen $0$ konvergente Folge in [mm] $\IC \setminus\{0\}$, [/mm] so konvergiert auch [mm] $(f_q(z_n))_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IC$.
[/mm]
Für $q=0$ ist Deine Funktion sicher stetig fortsetzbar, denn es gilt dann ja [mm] $f(z)=f_0(z)=z-\overline{z}$. [/mm] Und wenn $0 [mm] \not=z_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$), [/mm] so folgt auch [mm] $\overline{z_n} \to [/mm] 0$ und damit auch [mm] $f_0(z_n)=z_n-\overline{z_n} \to [/mm] 0-0=0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Ist aber $q=0$ das einzige $q [mm] \in \IQ$? [/mm] Oder gibt es evtl. auch noch andere $q [mm] \in \IQ$, [/mm] so dass [mm] $f=f_q$ [/mm] an der Stelle $0$ stetig fortsetzbar ist? Also ich denke schon, dass Du alle $q [mm] \in \IQ$ [/mm] angeben solltest, für die [mm] $f=f_q$ [/mm] an der Stelle $0$ stetig fortsetzbar ist (ich schließe nicht aus, dass es vll. tatsächlich nur für $q=0$ der Fall ist; ich habe mir dazu nämlich noch nichts überlegt  ). Und dann auch beweisen, dass für die von Dir angegebenen $q$'s [mm] $f=f_q$ [/mm] an der Stelle $0$ stetig fortsetzbar ist, und ebenso beweisen, dass [mm] $f=f_q$ [/mm] für die verbleibenden $q$'s [mm] ($\in \IQ$) [/mm] nicht stetig fortsetzbar ist. Und dabei sollte Dir der obige Satz [mm] $(\star)$ [/mm] helfen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 10.01.2009 | | Autor: | gigi |
vielen dank für deine ausführlichen erklärungen!
nur leider sind die ganzen sätze zu abstrakt für mich--ich kann sie einfach nicht auf die mir vorliegende funktion anwenden.
wie soll ich sie denn umformen, um zu sehen, für welche q jede folge gegen den gleichen grenzwert strebt, also f(z) stetig auf [mm] \IC [/mm] fortsetzbar ist? ich müsste dann doch sicher eine fallunterscheidung machen, oder?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 10.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Überleg mal, was für [mm] q\le1 [/mm] passiert! kürze für [mm] z\ne0
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 11.01.2009 | | Autor: | gigi |
meinst du mit kürzen: [mm] z^{1-q}-\bruch {\overline{z}}{|z|^q}
[/mm]
ich weiß nicht, wie ich dann rechnen muss für [mm] q\e1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gigi,
> meinst du mit kürzen: [mm]z^{1-q}-\bruch {\overline{z}}{|z|^q}[/mm]
das glaube ich nicht. I.A. gilt [mm] $z/|z|^q \not= z^{1-q}\,.$ [/mm] Ich weiß nicht, was Du da gerechnet hast, aber im komplexen sollte man eh schon vorsichtig sein. So ist z.B. im Rellen [mm] $|x|^2=x^2$, [/mm] aber im Komplexen gilt i.a. nicht [mm] $z^2=|z|^2\,,$ [/mm] was Du alleine mit $z=i$ sofort einsehen solltest.
> ich weiß nicht, wie ich dann rechnen muss für [mm]q\e1[/mm]
Was genau Leduart meinte, weiß ich auch nicht. Vll. wollte er darauf hinaus, dass [mm] $z-\overline{z}=2i*\text{Im}(z)$ [/mm] und [mm] $|z|=\sqrt{\text{Re}^2z+\text{Im}^2z}$ [/mm] ist. Damit erkennst Du (weil [mm] $|\text{Im}(z)|=\sqrt{\text{Im}^2z}$ [/mm] gilt und weil die Wurzelfunktion monoton wachsend ist), dass
[mm] $$|f(z)|=|f_q(z)|=2\frac{|\text{Im}(z)|}{|z|^q} \le 2|z|/|z|^q=2|z|^{1-q}\,.$$
[/mm]
Diese Abschätzung hilft Dir, um zu begründen, dass [mm] $f=f_q$ [/mm] stetig fortsetzbar in $z=0$ ist, sofern $1-q > 0$ bzw. $q < [mm] 1\,.$ [/mm] (Beachte dabei, dass zudem immer $q [mm] \in \IQ$ [/mm] ist!)
Die Fälle $q=1$ bzw. $q > 1$ musst Du nun auch noch durchdenken.
(Auch hier kann sicher wieder [mm] $f(z)=2i*\text{Im}(z)/\sqrt{\text{Re}^2z+\text{Im}^2z}^{\;q}$ [/mm] ($z [mm] \not=0$) [/mm] helfen. Nähere Dich mal auf der Realteilachse an $z=0$ und auf der Imaginärteilachse an $z=0$ (bzw. alternativ auf der Imaginärteilachse und zudem von oben)).
Gruß,
Marcel
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