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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 03.12.2010 | | Autor: | sanane |
f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] x=5
f(x)= x²+9x-18 wenn x<1
-9 wenn x=1
-2x²+12x-18 wenn 1<x<5
-8 wenn x=5
-3x²+17x-19 wenn x>5
kann mir jemand bei dieser monströsen aufgabe helfen???
ich weiss das f steitg in x0 [mm] \in \IR [/mm] ist wenn lim x-> x0 f(x)=f(x0) ist... wie muss ich bei dieser aufgabe vorgehen?
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Hallo sanane,
> f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] x=5
>
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> f(x)= x²+9x-18 wenn x<1
> -9 wenn x=1
> -2x²+12x-18 wenn 1<x<5
> -8 wenn x=5
> -3x²+17x-19 wenn x>5
Besser so:
[mm]f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+9*x-18 & \operatorname{,\ wenn \ }x <1 \\ -9 & \operatorname{,\ wenn \ } x=1 \\ -2*x^{2}+12*x-18 & \operatorname{,\ wenn \ } 1 < x < 5 \\ -8 & \operatorname{,\ wenn \ } x=5 \\ -3*x^{2}+17*x-19 & \operatorname{,\ wenn \ } x >5\end{matrix}\right[/mm]
Die so definierte Funktion ist zunächst stetig auf [mm]\IR \backslash \left\{1,5\right\}[/mm],
d.h. es muss untersucht werden, ob die Funktion auch an x=1
und x=5 stetig ist.
>
> kann mir jemand bei dieser monströsen aufgabe helfen???
> ich weiss das f steitg in x0 [mm]\in \IR[/mm] ist wenn lim x-> x0
> f(x)=f(x0) ist... wie muss ich bei dieser aufgabe vorgehen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Fr 03.12.2010 | | Autor: | sanane |
okay.. aberrr wie mach ich das dennnnn.. es ist zwar eine funktion aber besteht aus drei gleichungen...wie geh ich denn da jetzt vor :(
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Hallo sanane,
> okay.. aberrr wie mach ich das dennnnn.. es ist zwar eine
> funktion aber besteht aus drei gleichungen...wie geh ich
> denn da jetzt vor :(
Bestimme die Grenzwerte
[mm]\lim_{x \to 1, x <1} x^{2}+9x-18[/mm]
[mm]\lim_{x \to 1, x >1} -2*x^{2}+12x-18[/mm]
[mm]\lim_{x \to 5, x < 5} -2*x^{2}+12x-18[/mm]
[mm]\lim_{x \to 5, x > 5} -3*x^{2}+17x-19[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 So 05.12.2010 | | Autor: | sanane |
wäre das so richtig?:
für x²+9x-18 --> [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x)=-8=f(1)
für -2x²+12x-18 --> [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x)=-8=f(1)
für -2x²+12x-18 --> [mm] \limes_{x\rightarrow\5} [/mm] f(x)=-8=f(5)
für -3x²+17x-19 --> [mm] \limes_{x\rightarrow\5} [/mm] f(x)=-9=f(5)
woher sehe ich jetzt wo sie stetig ist, wo sie unstetig ist und ob die funktion einen GW besitzt ? :/
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Hallo sanane,
> wäre das so richtig?:
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> für x²+9x-18 --> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}[/mm] f(x)=-8=f(1)
>
> für -2x²+12x-18 --> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}[/mm] f(x)=-8=f(1)
>
> für -2x²+12x-18 --> [mm]\limes_{x\rightarrow\5}[/mm] f(x)=-8=f(5)
>
> für -3x²+17x-19 --> [mm]\limes_{x\rightarrow\5}[/mm] f(x)=-9=f(5)
Ja, das ist alles richtig.
>
> woher sehe ich jetzt wo sie stetig ist, wo sie unstetig ist
> und ob die funktion einen GW besitzt ? :/
Stetig ist die Funktion an den Stellen, für der linksseitige Grenzwert
gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, sonst ist sie dort unstetig.
Um über die Stetigkeit zu entscheiden, nehme dazu noch die
Funktionsdefition
[mm] f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+9\cdot{}x-18 & \operatorname{,\ wenn \ }x <1 \\ -9 & \operatorname{,\ wenn \ } x=1 \\ -2\cdot{}x^{2}+12\cdot{}x-18 & \operatorname{,\ wenn \ } 1 < x < 5 \\ -8 & \operatorname{,\ wenn \ } x=5 \\ -3\cdot{}x^{2}+17\cdot{}x-19 & \operatorname{,\ wenn \ } x >5\end{matrix}\right [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 05.12.2010 | | Autor: | sanane |
kannst du mir das an einem beispiel zeigen ? :/ .. ich blick da nämlich echt nicht durch..
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Hallo sanane,
> kannst du mir das an einem beispiel zeigen ? :/ .. ich
> blick da nämlich echt nicht durch..
Ok, dann ein Beispiel:
[mm] g\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}-x & \operatorname{,\ wenn \ }x \le 0 \\ x+1 & \operatorname{,\ wenn \ } 0 < x \le 1 \\ x^{2}+1 & \operatorname{,\ wenn \ } x >1\end{matrix}\right[/mm]
Mögliche Unstetigkeitsstellen sind die Übergänge zwischen den
Teilfunktionen, von -x nach x+1 die Stelle x=0,
von x+1 nach [mm]x^{2}+1[/mm] die Stelle x=1.
Demnach ist zu berechnen
i) an der Stelle x=0:
linksseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x \rightarrow 0, \ x < 0}{-x}=0[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x \rightarrow 0, x > 0}{x+1}=1[/mm]
Damit ist die Funktion g(x) an der Stelle x=0 unstetig.
ii) an der Stelle x=1:
linksseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x \rightarrow 1, \ x < 1}{x+1}=2[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x \rightarrow 1, x > 1}{x^{2}+1}=2[/mm]
Damit ist die Funktion g(x) an der Stelle x=1 stetig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 05.12.2010 | | Autor: | sanane |
ahsoo..jaa das hatten wir ja schon gemacht...
also wäre meine funktion für x=1 sowohl rechts als auch links stetig
für x=5 unstetig.. so weit erstmal richtig?
und wie seh ich jetzt, ob ich ein grenzwert hab oder nicht `?
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Hallo sanane,
> ahsoo..jaa das hatten wir ja schon gemacht...
>
> also wäre meine funktion für x=1 sowohl rechts als auch
> links stetig
> für x=5 unstetig.. so weit erstmal richtig?
Das ist richtig, wenn die Funktionsdefinition
[mm] f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+9\cdot{}x-18 & \operatorname{,\ wenn \ }x <1 \\ -2\cdot{}x^{2}+12\cdot{}x-18 & \operatorname{,\ wenn \ } 1 < x < 5 \\ -3\cdot{}x^{2}+17\cdot{}x-19 & \operatorname{,\ wenn \ } x >5\end{matrix}\right $ [/mm]
lautet.
>
> und wie seh ich jetzt, ob ich ein grenzwert hab oder nicht
> '?
Einen Grenzwert im Sinne der Stetigkeit hast Du, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 05.12.2010 | | Autor: | sanane |
es steht ja aber auch -8 wenn x=5 .. würde das bedeuten, dass die funktion linksseitig stetig ist ? ...
und was sagt mir -9 wenn x=1 aus? dass es rechtsseitig unstetig ist?
da die teilgw nicht übereinstimmen, besitzt f(x) kein GW, oder ?
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Hallo sanane,
> es steht ja aber auch -8 wenn x=5 .. würde das bedeuten,
> dass die funktion linksseitig stetig ist ? ...
Ja.
> und was sagt mir -9 wenn x=1 aus? dass es rechtsseitig
> unstetig ist?
Die Funktion ist an x=1 beidseitig unstetig,
d. h. insgesamt ist sie dort unstetig.
> da die teilgw nicht übereinstimmen, besitzt f(x) kein GW,
> oder ?
Ja ,[mm] -8 \not= -9[/mm] bzw. [mm]-9 \not=-8[/mm]
f(x) besitzt an der Stelle x=1 keinen eindeutigen Grenzwert.
Gruss
MathePower
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