stetige Kurve gesucht < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Seien [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] zwei Punkte auf der x Achse mit Abstand d voneinander. Welche ist die kürzeste stetige Kurve in der (x,y)-Ebene, die von [mm] P_1 [/mm] nach [mm] P_2 [/mm] läuft und dabei mindestens einmal die Gerade y=a berührt? |
Hallo,
ich kann keinen richtigen Ansatz finden. Ich denke, dass ich hier irgendwie mit Differentiation arbeiten muss, weiß aber nicht an welcher Stelle.
Leider kann ich zu der Aufgabe bisher nicht mehr beitragen, hoffe aber, dass sich das schnell ändert.
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist ne gemeine Trickfrage.
Wenn du gefragt würdest wie du von P1 nach P2 gehen würdest, wenn du an der Strasse a vorbeikommen müsstest, wüsstest du die Antwort sicher. oder welche Sorte Weg du nehmen würdest. Das ist ne stetige Kurve. Kurven sind nicht immer kurvig,-)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> das ist ne gemeine Trickfrage.
> Wenn du gefragt würdest wie du von P1 nach P2 gehen
> würdest, wenn du an der Strasse a vorbeikommen müsstest,
> wüsstest du die Antwort sicher. oder welche Sorte Weg du
> nehmen würdest. Das ist ne stetige Kurve. Kurven sind
> nicht immer kurvig,-)
> Gruss leduart
Wenn ich diese "Kurve" dann mal in ein KO-System einzeichnen würde, bekäme ich doch mehr oder weniger ein Dreieck, nicht wahr?
Wie kann ich das dann mathematisch so lösen, wie es verlangt wird, also die Kurvengleichung angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du musst suchen, welches Dreick mit Basis d den kleinsten Umfang hat .
2. 2 Geraden wirst du ja wohl parametrisieren können als Kurve?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> 1. du musst suchen, welches Dreick mit Basis d den
> kleinsten Umfang hat .
Ja genau.
> 2. 2 Geraden wirst du ja wohl parametrisieren können als
> Kurve?
Ne das bekomme ich irgendwie nicht hin.
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beispiel : gleichschenkliges Dreieck:
eine Gerade von P1(x1,0) zu Q=(x1+d/2,a)
[mm] c(t)=\vektor{x1+d/2*t \\ a*t} [/mm] t von 0 bis 1
überleg wenigstens, warum das richtig ist und mach den 2ten Teil.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> Beispiel : gleichschenkliges Dreieck:
> eine Gerade von P1(x1,0) zu Q=(x1+d/2,a)
> [mm]c(t)=\vektor{x1+d/2*t \\ a*t}[/mm] t von 0 bis 1
> überleg wenigstens, warum das richtig ist und mach den
> 2ten Teil.
> Gruss leduart
Dass das für ein Gleichschenkliges Dreieck gilt, ist klar. Genauso wäre dann eben die Gerade von Q nach [mm] P_2:
[/mm]
[mm] a(t)=\begin{pmatrix}x_{2}-\frac{d}{2}\\
a\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}\frac{d}{2}\\
-a\end{pmatrix}, [/mm] wenn ich mich mit den Vorzeichen nicht irgendwo vertan habe.
Aber für die Aufgabe kann ich mir nicht einfach ein gleichschenkliges Dreieck hernehmen, oder? Obwohl eigentlich macht es ja keinen Unterschied, solange nicht eine der Strecken c oder a länger sind als die Basis d, also solange d Basis bleibt.
Naja, wenn ich dann soweit bin muss ich dann einfach das Minimum von c+a berechnen? Aus der Parametrisierten Form kann ich schlecht ne Ableitung bilden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wolltest du ne Stetige Kurve von P1 nach P2. dann sollte t auch von 0 bis 2 oder sonst was laufen.
Dein t läuft von 0 bis 1 von P1 bis Q und dann springt es und läuft von Q bis P2 von 0 bis 1. du willst doch eine stetige Kurve d.h. das Intervall (0,T) abbilden.
2. Die länge der Strecken kannst du ja direkt ausrechnen. und minimieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
Gut, hab ichs mal so geändert: Jetzt nehme ich also oBdA an, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
[mm] c(t):=\begin{cases}
\begin{pmatrix}x_{1}+\frac{d}{2}t\\
at\end{pmatrix} & t\in[0,1]\\
\begin{pmatrix}x_{2}-\frac{d}{2}+t\cdot\frac{d}{4}\\
a-t\frac{a}{2}\end{pmatrix} & t\in]1,2].\end{cases}
[/mm]
Jetzt steht in der Überschrift der Aufgabe aber Minimierung durch Differentiation, d.h. ich werde wohl an irgendeiner Stelle noch differenzieren müssen.
Soll ich nun einfach die Längen der obigen Vektoren in Abhängigkeit von t mit der euklidschen Norm berechnen und das dann differenzieren oder wie ist das wohl gemeint?
Und was ist dann am Ende eigentlich als Endergebnis meine kürzeste stetige Kurve? Das differenzierte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, denn die haben ja ne feste Länge , weil sie das gleichschenklige Dreieck beschreiben.
mach ne Zeichng zu nem beliebigen Punkt auf a und lass dir von nem alten Griechen mit P helfen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
Ok ich kann dir nicht mehr folgen.
Lass uns einfach nochmal durchgehen, was ich überhaupt machen muss.
Gesucht ist die kürzeste stetige Kurve zwischen zwei Punkten. Die hat die Form eines Dreiecks. Die Seitenlängen kann ich alle berechnen z.B. mit Pythagoras [mm] c=\sqrt{(x_Q-x_1)^2+a^2}.
[/mm]
Aber jetzt soll der Umfang minimal werden. Was muss ich dann an welcher Stelle ableiten? Und welcher Teil ist dann die kürzeste stetige Kurve?
Wenn ich die Fragen beantwortet habe, bin ich schon ein großes Stück weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Verbindung besteht doch aus 2 Strecken P1Q+P2Q, leg Q etwa jetzt nur ne geiegnete Variable , wo Q liegt.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:25 So 08.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> Die Verbindung besteht doch aus 2 Strecken P1Q+P2Q, leg Q
> etwa jetzt nur ne geiegnete Variable , wo Q liegt.
> Gruss leduart
Ich versuche immer so präzise nachzufragen, um meine Gedanken nochmal zu ordnen, deshalb kann ich deine nicht nachvollziehen, wenn du nicht auf meine Fragen antwortest, weil für dich die Aufgabe sehr leicht zu sein scheint.
Es geht um den Punkt Q, der so bestimmt werden soll, dass die Kurve minimal wird.
Vorhin habe ich diese parametrisierte Kurvengleichung aufgestellt. Hat die mir überhaupt geholfen oder bringt sie mich weiter?
Und an welcher Stelle muss ich nun warum differenzieren?
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> Seien [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] zwei Punkte auf der x Achse mit Abstand d
> voneinander. Welche ist die kürzeste stetige Kurve in der
> (x,y)-Ebene, die von [mm]P_1[/mm] nach [mm]P_2[/mm] läuft und dabei
> mindestens einmal die Gerade y=a berührt?
Hallo,
ich gehe nochmal ganz zum Anfang, in der Hoffnung, den Dir fehlenden roten Faden hineinzubringen.
Daß die Kurve aus zwei Geradenstücken bestehen muß, ist inzwischen klar.
Wir haben zwei Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] auf der x-Achse, sei [mm] P(x_1|0), [/mm] dann ist [mm] P_2=(x_1+d|0).
[/mm]
Gesucht ist nun erstmal ein Punkt Q auf der Geraden y=a, für welchen die Summe s der Streckenlängen P_1Q und P_2Q minimal wird.
Der Punkt Q hat gewiß die Koordinaten Q(x|a), und dieses x, für welches die Summe s minimal wird, ist zu berechnen.
Wenn wir das haben, haben wir nämlich den richtigen Punkt und können uns ans Aufstellen der Kurvengleichung machen.
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Im Grunde weißt Du ja schon aus einer gewissen Lebenserfahrung heraus, wo dieser Punkt Q liegen muß, wir können ihn aber trotzdem berechnen - und ich glaube, dies fehlte Dir bisher.
Lange [mm] l_1 [/mm] von P_1Q : [mm] |\vektor{x -x_1\\a}|=\wurzel{(x-x_1)^2 + a^2}
[/mm]
Lange [mm] l_2 [/mm] von P_2Q : [mm] |\vektor{x -x_1-d\\a}|=\wurzel{(x-x_1-d)^2 + a^2}
[/mm]
[mm] s(x)=\wurzel{(x-x_1)^2 + a^2}+ \wurzel{(x-x_1-d)^2 + a^2}
[/mm]
Nun eine Extremwertberechnung zur Ermittlung von x_min, denn die Summe der Streckenlängen soll ja minimal werden.
Das Ergebnis Deiner Bemühungen wird sein: [mm] x_{min}= x_1+\bruch{d}{2}.
[/mm]
Damit ist [mm] Q(x_1+\bruch{d}{2} [/mm] | a) der gesuchte Punkt auf der Geraden y=a.
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Nun folgt der zweite Teil dessen, was in Deiner Aufgabe gefordert ist:
Du sollst jetzt die Parametergleichung der Kurve c aufstellen, die in [mm] P_1 [/mm] beginnt, als Geradenstück zum Punkt Q verläuft, und von dort ebenfalls als Geradenstück zum Punkt [mm] P_2 [/mm] geht.
Das hattest Du zuvor ja schon getan - und der obere Teil war bereits richtig:
$ [mm] c(t):=\begin{cases} \begin{pmatrix}x_{1}+\frac{d}{2}t\\ at\end{pmatrix} & t\in[0,1]\\ ... & t\in]1,2].\end{cases} [/mm] $
Den unteren Teil mußt Du nun so organisieren, daß Du für t=1 den vektor [mm] \vektor{x_1+\bruch{d}{2}\\a} [/mm] bekommst (Ortsvektor von Q) , und für t=2 den Vektor [mm] \vektor{x_1+d\\0} [/mm] (Ortsvektor von [mm] P_2).
[/mm]
Vielleicht versuchst Du das jetzt noch. Dann bist Du fertig
Gruß v. Angela
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