stetige Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Do 12.03.2009 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | [mm] f:M_{1} \to M_{2} [/mm] stetig , [mm] M_{1},M_{2} [/mm] top. Räume
[mm] \gdw \overline{f^{-1}(X)} \subseteq f^{-1}(\overline{X}) [/mm] für alle X [mm] \subseteq M_{2} [/mm] |
Hi!
Bin gerade an obiger Aufgabe und habe etwas Schwieirgkeiten.
Mir ist nähmlich gar nicht klar, was [mm] \overline{f^{-1}(X)} \subseteq f^{-1}(\overline{X}) [/mm] für alle X [mm] \subseteq M_{2} [/mm] eigentlich bedeutet, oder wie ich mir das vorstellen muss..
[mm] \rightarrow
[/mm]
Meine Idee: f stetig [mm] \rightarrow [/mm] Urbild von offenen Mengen ist offen.
Dann Fallunterscheidung X offen, X abgeschlossen
Und ich würde versuchen zu zeigen, dass wenn x [mm] \in \overline{f^{-1}(X)} \rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(\overline{X})
[/mm]
Ja gut soviel zur Theorie, nur wie ich das genau mache? Da hab ich keine Ahnung.. Wäre seeehr dankbar um einen Tipp.
Vielen Dank im Vorraus Mel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist M Teilmenge eine topologischen Raumes, so ist [mm] \overline{M} [/mm] die abgeschlossene Hülle von M
Das sollst Du zeigen:
x $ [mm] \in \overline{f^{-1}(X)} \rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in f^{-1}(\overline{X}) [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 12.03.2009 | | Autor: | Meli90 |
Danke für die schnelle Hilfestellung!
Also leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch.
x [mm] \in \overline{f^{-1}(X)} [/mm]
also ist x in der abgeschlossenen Hülle des Urbildes
1.) x ist ein innerer Punkt, dann folgt sofort, dass x [mm] \in f^{-1}(\overline{X})
[/mm]
2.) x ein Randpunkt, dann ?
Ja wie argumentiert man dann? Bin noch sehr unsicher mit der ganzen Urbild Thematik.. Vielen Dank für das Verständnis..
Mel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Meli,
bitte beachte, dass oben eine 'genau dann, wenn'-Aussage steht. Du hast also zwei Richtungen zu zeigen:
1. Wenn $f: [mm] M_1 \to M_2$ [/mm] stetig ist, dann folgt für alle $X [mm] \subset M_2$, [/mm] dass
[mm] $$\overline{f^{-1}(X)} \subseteq f^{-1}(\overline{X})\,.$$
[/mm]
Hier ist [mm] $\overline{X}$ [/mm] abgeschlossen in [mm] M_2, [/mm] also ist [mm] $M_2 \setminus \overline{X}=\overline{X}^{\,c}$ [/mm] in der Topologie von [mm] $M_2$ [/mm] enthalten, mit anderen Worten: [mm] $\overline{X}^{\,c}$ [/mm] ist offen.
Dann ist [mm] $f^{-1}(\overline{X}^{\,c})$ [/mm] aber eine offene Teilmenge von [mm] $M_1$, [/mm] da [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist. Also ist
[mm] $$(f^{-1}(\overline{X}^{\,c}))^{\,c}=M_1 \setminus f^{-1}(\overline{X}^{\,c})$$
[/mm]
eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] $M_1\,.$
[/mm]
Für allgemeine Abbildungen $g: R [mm] \to [/mm] S$ gilt für $S' [mm] \subseteq [/mm] S$ die Beziehung
[mm] $$g^{-1}(S'^{\,c})=(g^{-1}(S'))^{\,c}\,,$$
[/mm]
(beachte, dass linkerhand das Komplement bzgl. [mm] $S\,$ [/mm] und rechterhand das bzgl. [mm] $R\,$ [/mm] gemeint ist!)
Damit erhältst Du oben, weil ja [mm] $(f^{-1}(\overline{X}^{\,c}))^{\,c}$ [/mm] abgeschlossen ist, dass
[mm] $$\overline{(f^{-1}(\overline{X}^{\,c}))^{\,c}}=(f^{-1}(\overline{X}^{\,c}))^{\,c}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $$(\star_1)\;\; \overline{f^{-1}(\overline{X})}=f^{-1}(\overline{X})\,.$$
[/mm]
Aus $X [mm] \subseteq \overline{X}$ [/mm] folgt zudem
[mm] $$(\star_2)\;\;f^{-1}(X) \subseteq f^{-1}(\overline{X})\,.$$
[/mm]
Wenn Du nun weißt, in welcher Beziehung [mm] $\overline{A}$ [/mm] und [mm] $\overline{B}$ [/mm] für $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq M_1$ [/mm] zueinander stehen, dann liefert Dir [mm] $(\star_1)$ [/mm] zusammen mit [mm] $(\star_2)$ [/mm] die Behauptung.
P.S.:
Es ist dann aber auch noch die andere Richtung zu zeigen, also es ist zu zeigen:
Wenn für alle $X [mm] \subseteq M_2$ $\overline{f^{-1}(X)} \subseteq f^{-1}(\overline{X})$ [/mm] gilt, dann ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur nochmal kurz hierzu:
> Danke für die schnelle Hilfestellung!
> Also leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch.
> x [mm]\in \overline{f^{-1}(X)}[/mm]
> also ist x in der abgeschlossenen Hülle des Urbildes
> 1.) x ist ein innerer Punkt, dann folgt sofort, dass x [mm]\in f^{-1}(\overline{X})[/mm]
Dann solltest Du auch begründen können, wieso das sofort folgt?!
Also:
Sei $x [mm] \in \overline{f^{-1}(X)}^{\,o}$, [/mm] dann gilt ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in f^{-1}(\overline{X})$. [/mm] Solch' eine Folgerung(skette) müsstest Du dann aufstellen können. Das ganze wäre fast trivial, wenn Du [mm] $\overline{f^{-1}(\overline{X})}=f^{-1}(\overline{X})$ [/mm] schon bewiesen hättest, aber das ist ein wesentlicher Teil der Aufgabe. Und dass das und wie das geht, steht in meiner Antwort oben.
Gruß,
Marcel
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