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Forum "Integralrechnung" - stammfunktion bestimmen

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stammfunktion bestimmen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:29 So 13.04.2008
Autor:	e-funktion

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe folgendes Problem:
Ich soll die Fläche zwischen 0 und [mm] \wurzel{3} [/mm] ausrechnen.
Dazu habe ich folgendes Integral:

[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{(4x/(x²+1))dx} [/mm]

Dazu wende ich die Substitution an und substituiere u=x²+1 u'=2x
also ist 1/(2x) du=dx

Demnach erhalte ich [mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{(2/(x²+1)) dx} [/mm]

Würde jetzt im Zähler 2x stehen so wäre die Stammfunktion F(x)=ln(x²+1) , aber das tut es ja nicht. Habe ich irgendeinen Fehler gemacht? Ich denke nicht.
Zur Kontrolle: Die richtige Stammfunktion ist F(x)=2ln(x²+1)

Bezug

stammfunktion bestimmen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:42 So 13.04.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo e-funktion,

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe folgendes Problem:
>  Ich soll die Fläche zwischen 0 und [mm]\wurzel{3}[/mm] ausrechnen.
>  Dazu habe ich folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{(4x/(x²+1))dx}[/mm]
>
> Dazu wende ich die Substitution an und substituiere u=x²+1

> u'=2x

> also ist 1/(2x) du=dx
>
> Demnach erhalte ich [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{(2/(x²+1)) dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Wie kommst du darauf?

Erstmal die Grenzen mitsubstituieren:

untere: $x=0\Rightarrow u=0^2+1=1$

obere: $x=\sqrt{3}\Rightarrow u=\sqrt{3}^2+1=4$

Dann bekommst du $\int\limits_{x=0}^{x=\sqrt{3}}{\frac{4x}{\red{x^2+1}} \ \blue{dx}}=\int\limits_{u=1}^{u=4}\frac{4x}{\red{u}} \ \blue{\frac{du}{2x}}}=\int\limits_{1}^{4}\frac{2}{u} \ du}=2\cdot{}\int\limits_{1}^{4}{\frac{1}{u} \ du}$

Und das kannst du im Schlaf integrieren...

>
> Würde jetzt im Zähler 2x stehen so wäre die Stammfunktion
> F(x)=ln(x²+1) , aber das tut es ja nicht. Habe ich
> irgendeinen Fehler gemacht? Ich denke nicht.
> Zur Kontrolle: Die richtige Stammfunktion ist
> F(x)=2ln(x²+1) \red{+ \ C}

Ja, das stimmt und kommt heraus, wenn du das unbestimmte Integral (ohne Grenzen) berechnest

LG

schachuzipus