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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:58 Mi 26.11.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Falls die Werte der ableitung an den Randbedingungen nicht bekannt ist, verwendet man bei der spline-Interpolation häufig die not-a-knot bedingungen
[mm] s_1'''(x_1)=s_2'''(x_1), s_{n-1}'''(x_{n-1})=s_n'''(x_{n-1}), [/mm] die besagen, dass der Spline auf den Teilintervallen [mm] [x_0,x_2] [/mm] und [mm] [x_{n-2},x_n] [/mm] durch je ein einziges kubisches Polynom gegeben ist.
Stelle für die äqidistanten Zerlegung [mm] x_j=x_0+jh [/mm] (j=0,1,...,n) das Gleichungssystem für den interpolierten kubischen Spline mit der "not-a-knot" bedingung auf. Zeige, das stets eine eindeutige Lösung existiert. |
Hallo
mein Ansatz:
durch die 3. Ableitung also
[mm] s_1'''(x_1)=s_2'''(x_1) \Rightarrow d_1=d_2
[/mm]
[mm] s_{n-1}'''(x_{n-1})=s_n'''(x_{n-1}) \Rightarrow d_{n-1}=d_{n}
[/mm]
mit der 2. Ableitung ist
[mm] s_j''(x_{j+1})=s_{j+1}''(x_{j+1}) [/mm] man erhält dann sei [mm] h_j=x_{j+1}-x_j
[/mm]
dann ist [mm] 2c_j+ 6d_j\cdot h_j=2c_{j+1} \Rightarrow d_j=\bruch{c_{j+1}-c_j}{3h_j} [/mm] (1)
d.h. dann für [mm] d_1=d_2 \rightarrow d_1=\bruch{c_2-c_1}{3h_1}=\bruch{c_3-c_2}{3h_2} \RIghtarrow h_2c_1-c_2(h_2+h_1)+h_1c_3=0
[/mm]
und für [mm] d_{n-1}=d_n [/mm] : [mm] \bruch{c_n-c_{n-1}}{3h_{n-1}}=\bruch{c_{n+1}-c_n}{3h_n} \Rightarrow h_n\cdot c_{n-1}-c_n(h_n+h_{n-1})+h_{n-1}\cdot c_{n+1}=0
[/mm]
spline Interpolationspolynom hat folg. form
[mm] s_j(x)=a_j+b_j(x_x_j)+c_j(x-x_j)^2+d_j(x-x_j)^3
[/mm]
haben [mm] a_j=y_j=s(x_j) [/mm] und mit [mm] s_j(x_{j+1})=s_{j+1}(x_{j+1}) [/mm] folgt dann
[mm] y_{j+1}=y_j+b_j(x_{j+1}-x_j)+c_j(x_{j+1}-x_j)^2+d_j(x_{j+1}-x_j)^3 \rightarrow \bruch{y_{j+1}-y_j}{h_j}=b_j+c_j(x_{j+1}-x_j)^2+d_j(x_{j+1}-x_j)^3
[/mm]
setzte dann für [mm] d_j [/mm] (1) ein und erhalte dann
[mm] =b_j+c_j(x_{j+1}-x_j)^2+\bruch{c_{j+1}-c_j}{3}(x_{j+1}-x_j)^3
[/mm]
multipliziere diese gleichung mit 3 und erhalte dann
(I) [mm] \bruch{3(y_{j+1}-y_j)}{h_j}=3\cdotb_j+3c_j\cdot h_j +(c_{j+1}-c_j)\cdot h_j [/mm]
(II) [mm] \bruch{3(y_{j+2}-y_{j+1}}{h_{j+1}}=3\cdot b_{j+1}+3c_{j+1}\cdot h_{j+1}+(c_{j+2}-c_{j+1})h_{j+1}
[/mm]
multiplizier (I) mit (-1) und addiere mit der (II):
[mm] \bruch{3(y_{j+1}-y_j)}{h_j}-\bruch{3(y_{j+2}-y_{j+1}}{h_{j+1}} [/mm] = [mm] c_jh_j+2c_{j+1}(h_{j+1}+h_j)+ c_{j+2}h_{j+1}
[/mm]
man erhält dann folg Gleichungen wenn man für [mm] x_0=x_0, x_1=x_0+h,...,x_n=x_0+nh [/mm] einsetzt
1) [mm] h\cdot c_1-2\cdot c_2+h\cdot c_3=0
[/mm]
2) [mm] \bruch{3(y_2-y_1)-3(y_1-y_0)}{h}=c_0h+2hc_1+c_2\cdot [/mm] h
3) [mm] \bruch{3(y_3-y_2)-3(y_2-y_1)}{h}=c_1h+2hc_2+c_3\cdot [/mm] h
[mm] \vdots
[/mm]
n) [mm] \bruch{3(y_{n}-y_{n-1})-3(y_{n-1}-y_{n-2})}{h}=c_{n-2}h+2hc_{n-1}+c_n\cdot [/mm] h
n+1) [mm] h\cdot c_{n-1}-2h\cdot c_n [/mm] + [mm] h\cdot c_{n+1}=0
[/mm]
ich erhalte dann folg matrix
[mm] \pmat{ 0 & h &-2h & h & 0& =&\cdots &0\\ h & 4 h & h & 0 &0 & cdots & 0 \\ 0&h & 4h &h & 0 & \cdots &0 &0\\ \vdots \\
0&0&0&\cdots & h &4h & h &0\\ 0&0&0&0& h&-2h&h} \cdot \vektor{c_0\\ c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\\c_{n+1}} [/mm] = [mm] \cdots
[/mm]
Stimmt die Matrix oder das was ich bis hier gemacht habe? was man die eindeutigkeit nachweisen will dann muss man die determinate überprüfen d.h ich habe mit laplace nach der 1. Spalte entwickelt aber dann erhalte ich wieder eine große matrix. wie mach ich das ?
ich bin für jede hilfe dankbar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 29.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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