sklares _winkel_problem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 28.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
ich habe ein problem mit den sklarprodukt bei einer aufgabe hoffe jemand weis bescheid aufgabe:
dem winkel zwischern den vektoren a und b bestimmen
a=2e1-e2+2e3 b=-2e1+2e2
das ergenis lautet 135 grad aber wie komme ich darauf
gilt die formel:
[mm] cos\alpha [/mm] ist der eingeschossende winkel zwischen den vektoren a und b
[mm] cos\alpha=\bruch{\vektor{x_{a} \\ y_{a}\\z_{a}}*\vektor{x_{b} \\ y_{b}\\z_{b}}}{x_{a}*x_{b}+y_{a}*y_{b}+z_{a}*z_{b}}
[/mm]
wenn ich diese formel benutze ist sie tribal es steht immer
[mm] \bruch{x}{x}
[/mm]
da und das ist =1 was soll das?damit kann ich doch kein winkel berechnen
wann gilt eigentlich die formel :(a und b vektoren)
a*b= [mm] \vmat{ a }*\vmat{ b }*cos\alpha=x_{a}*x_{b}+y_{a}*y_{b}+z_{a}*z_{b}
[/mm]
gilt diese formel immer oder nur in kartesischen kooedinatensystem?
was ist der unterschied zwischen den beiden formeln:
[mm] x_{a}*x_{b}+y_{a}*y_{b}+z_{a}*z_{b}
[/mm]
und
[mm] \vektor{x_{a} \\ y_{a}\\z_{a}}*\vektor{x_{b} \\ y_{b}\\z_{b}}
[/mm]
eigentlich sin die beiden formeln aquivalent oder?
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Hallo.
Ich fürchte, da hast Du einiges durcheinandergeworfen.
Für Vektoren a,b ist das Skalarprodukt ab wie folgt definiert:
[mm]a*b:=|a|*|b|*cos \alpha[/mm], wobei [mm]\alpha[/mm] der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist.
Nach dem Cosinussatz gilt aber auch: [mm]a*b= \vektor{x_a \\ y_a \\ z_a} * \vektor{x_b \\ y_b \\ z_b} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b[/mm], weshalb man den Winkel [mm]\alpha[/mm] wie folgt berechnen kann:
[mm]cos \alpha = \bruch{a*b} {|a|*|b|} = \bruch{x_ax_b+y_ay_b+z_az_b} {\wurzel{x_a^2+y_a^2+z_a^2}*\wurzel{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}[/mm], wobei mit |a| die "Länge" des Vektors a gemeint ist, diese rechnet man eben nach dem Satz von Pythagoras aus, so kommen die Wurzeln zustande.
Ich hoffe, Du hast jetzt verstanden, worum es geht, wenn nicht, einfach nochmal nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 29.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
hallo erst mal vielen dank habe ich wohl was verwechselt aber eine frage stellt sich mir noch wann ich wie das skarlarproduckt berechene
a und b sind vekoren
das [mm] cos\alpha [/mm] gleich null ist wenn der winkel 90grad beträgt ist klar das produckt ist damit auch null
und genauso wenn der winkel 0 grad ist [mm] cos\alpha [/mm] gleich 1 und es bleibt
[mm] \vmat{ a }* \vmat{ b } [/mm] übrich aber wann nehme ich die formel:
a*b= [mm] \wurzel{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}*\wurzel{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}
[/mm]
und wann muss ich dann das sklarproduckt so berechnen
[mm] a*b=x_{a}*x_{b}+y_{a}*y_{b}+z_{a}*z_{b} [/mm] ???
und wo bleibt der winkel eigentlich ab?
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Hallo ghostdog,
> aber eine frage stellt sich mir noch wann ich wie das
> skarlarproduckt berechene
> a und b sind vektoren:
$ [mm] \vec{a}\*\vec{b}:=|\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|\cdot{}\cos \alpha [/mm] $
> das [mm]\cos\alpha[/mm] gleich null ist, wenn der winkel 90°
> beträgt, ist klar.
> das produkt ist damit auch null.
Also: [mm] \alpha [/mm] = 90° [mm] \Rightarrow \cos \alpha [/mm] = 0 = [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b}
[/mm]
Mir ist nicht so recht klar, was du jeweils als bekannt voraussetzt. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> und genauso wenn der winkel 0 grad ist [mm]\cos\alpha[/mm] = 1
> und es bleibt
> [mm]\vmat{ a }* \vmat{ b }[/mm] übrich.
> Aber wann nehme ich die Formel: a*b= [mm]\wurzel{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}*\wurzel{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}
[/mm]
na, eben wenn der Winkel zwischen den beiden Vektoren 0° beträgt. 
$ [mm] \vec{a}\*\vec{b}:=|\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|\cdot{}\cos \alpha$ [/mm] mit [mm] $\cos \alpha [/mm] = 1$
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \vec{a}\*\vec{b}:=|\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|$
[/mm]
> und wann muss ich dann das Skalarproduckt so berechnen
> [mm]\vec{a}\*\vec{b}=x_{a}*x_{b}+y_{a}*y_{b}+z_{a}*z_{b}[/mm] ???
Diese Formel gilt allgemein, wenn man nichts Näheres über den Winkel weiß.
> und wo bleibt der winkel eigentlich ab?
Eben weil man nichts weiß.
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