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Forum "Trigonometrische Funktionen" - sin(x) nach x auflösen
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sin(x) nach x auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 So 19.08.2007
Autor: belimo

Hallo Leute

Ich sollte gerade die Gleichung [mm] sin(t+\bruch{\pi}{2})=sin(2t) [/mm] nach t auflösen, wobei t zwischen [mm] 0 Aber ich stehe da gerade auf dem Schlauch...

Hat mir jemand ein Tipp? Danke im Voraus.

Grüsse belimo

        
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sin(x) nach x auflösen: Aufgabe macht doch Sinn!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 So 19.08.2007
Autor: kochmn

Was hältst Du davon (In Deinem Intervall):

Überlege Dir zunächst, dass [mm] $\sin(t+\pi/2)=\cos(t)$. [/mm]

Dann wird Deine Aufgabe zu

[mm] \sin(2t)=\cos(t) [/mm]

Links kannst Du ein Additionstheorem anwenden:

[mm] 2\sin(t)\cos(t) [/mm] = [mm] \cos(t) [/mm]

Durch cos(t) (ist von 0 verschieden) teilen:

[mm] $2\sin(t) [/mm] = 1$

und schließlich

$t=arcsin(1/2)$

fetig.

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Bezug
sin(x) nach x auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 So 19.08.2007
Autor: belimo

Hm, nein eigentlich kein Tippfehler. Aber es ist eben nicht die gesamte Aufgabe.

Zum Auflösungs'problem':

cos(t)=sin(2t)
[mm] sin(t+\bruch{\pi}{2})=sin(2t) [/mm]
[mm] t+\bruch{\pi}{2}=2t [/mm]

==> [mm] t=\bruch{\pi}{2}, [/mm] wie kochmn auch ohne rechnen gesehen hat ;-)

Die gesamte Aufgabe lautet aber wie folgt:

Für jeden Wert von t mit [mm] 0
a) Für welche Wahl von t wird das Dreieick gleichschenklig?

Der [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] ist ja 0, daher kann obige Lösung mal nicht stimmen ;-) Was habe ich denn falsch gemacht? Danke für eure Tipps

Gruss belimo

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sin(x) nach x auflösen: Sorry. Siehe korr. Mitteilung.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 So 19.08.2007
Autor: kochmn

Ich bereue. Siehe meine modifizierte Mitteilung.

Liebe Grüße
  Markus-Hermann!


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sin(x) nach x auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 So 19.08.2007
Autor: belimo

Naja, das brauchst du doch nicht zu bereuen ;-)

Danke jedenfalls. arcsin(1/2) stimmt exakt ;-)

Offene Fragen: vagnerlove schlug mir vor, das sin einfach zu kürzen. Ist das rein mathematisch überhaupt zulässig?

Beispiel:
sin(x)=sin(y) ist wirklich äquivalent mit x=y?
Ich würde jetzt daraus sin(x/y)=0 machen ;)

Zum Thema: Ich habe zum Thema Additionstheoreme im Formelbuch nachgeschlagen und es tatsächlich gefunden. Frage: Gibt es auch eine Variante das aufzulösen ohne Additionstheoreme? Weil unser Dozent hat diese noch nie angewendet, und ich wusste bisher nicht einmal, dass es diese (ganz tolle Vereinfachung) überhaupt gibt ;-)


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sin(x) nach x auflösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 So 19.08.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

Nein, es ist mathematisch natürlich nicht zulässig.

Dadurch habe ich auch einige Lösungen unterschlagen.

Gruß
Reinhold

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sin(x) nach x auflösen: Offene Fragen:
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 So 19.08.2007
Autor: kochmn

* Bei [mm] $f(g_1(x)) [/mm] = [mm] f(g_2(x))$ [/mm]
  Darfst Du das $f$ kürzen, wenn es im Wertebereich von [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] zumindest mal injektiv
  (und damit umkehrbar, darum geht's!) ist. Beim sin(x) ist das im Intervall [mm] $x\in (0,\pi)$ [/mm]
  nicht gegeben.

* Die einzige "einfachere" Methode die mir einfiele wäre, dass Du Dir die Graphen der
  beiden Funktionen ansiehst und direkt erkennst, dass
    [mm] $\sin((\pi/2)-\alpha)=\sin((\pi/2)+\alpha)$ [/mm]
  und dann argumentierst, dass
    [mm] $\sin(2\cdot 30^\circ) \overset{!}{=} \sin(90^\circ+30^\circ)$, [/mm]
    da [mm] $\sin(2\cdot 30^\circ) [/mm] = [mm] \sin(90^\circ-30^\circ)$ [/mm]
  
Liebe Grüße
  Markus-Hermann.

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Bezug
sin(x) nach x auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 So 19.08.2007
Autor: belimo

OK, danke für deine Erläuterungen ;-) Aber zum Glück kenne ich ja jetzt diese 'Additionstheoreme' und kann damit alles lösen ;-)

Mit diesem Gedanken ging ich dann an die Aufgabe b) (wenns a) gibt muss es ja auch b) geben):

b) für welche Wahl von t ist der Dreiecksumfang maximal?

Ich versuchte mal sowas:

Umfang: U

u=2*cos(t)+sin(2t)

Damit der Umfang maximal wird, muss die 1. Ableitung also = 0 sein.

d.h.: 0=cos(2t)*2-2*sin(t) (Kettenregel bei sin(2t) angewendet
=> 0=2*(cos(2t)-sin(t))
Und da die 2 ja irrelevant für das Resultat ist:
=> 0=(cos(2t)-sin(t))

Nun kam ich noch auf:

sin(t)=cos(2t), dann mittel erwähnten superpraktischen Additionstheoremen auf:
=> [mm] sin(t)-2*(sin(2t))^{2}=1 [/mm]

Aber jetzt komme ich  nicht mehr weiter. Hast du mir noch einen Tipp, oder habe ich irgendwo was falsch gemacht?

Bezug
                                                        
Bezug
sin(x) nach x auflösen: Die (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 So 19.08.2007
Autor: kochmn

Hallo nochmal,

ich verstehe nicht ganz wie Dein Dreieck aussieht, gehe aber mal davon aus, dass die Formel

$U = 2*cos(t)+sin(2t)$

schon stimmt. Nun nachdem Du Dich bereits mit den AT's angefreundet hast...

Deine Aufgabe lautet umformuliert: Maximiere

$U = [mm] 2\cos(t) [/mm] + 2 [mm] \sin(t)\cos(t)$ [/mm]

oder lassen wir die 2 als positive Konstante weg und klammern aus: Maximiere

[mm] $\tilde{U} [/mm] = [mm] \cos(t)(1+\sin(t))$ [/mm]

Wie Du vorschlägst: Ableiten und 0 setzen...

$0 [mm] \overset{!}{=} -\sin(t)(1+\sin(t))+\cos^2(t)$ [/mm]

$0 [mm] \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos^2(t)-\sin^2(t)$ [/mm]

$0 [mm] \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos(2t)$ [/mm]

Hier schlage ich Dir nun die Substitution u=2t vor mit [mm] $u\in (0,\pi)$ [/mm] und überlasse
Dir den Rest als Übungsaufgabe! ;-)

Liebe Grüße
  MHK.


Bezug
                                                                
Bezug
sin(x) nach x auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 So 19.08.2007
Autor: belimo

Hm, danke nochmals für die Erläuterungen.

> [mm]U = 2*cos(t)+sin(2t)[/mm]
>  
> schon stimmt.

In der Aufgabe steht ja, dass das gleichschenkliche Dreieck mit cos(t), cos(t), und sin(2t) gebildet wird. deshalb...

> Deine Aufgabe lautet umformuliert: Maximiere
>  
> [mm]U = 2\cos(t) + 2 \sin(t)\cos(t)[/mm]
>  
> oder lassen wir die 2 als positive Konstante weg und
> klammern aus: Maximiere
>  
> [mm]\tilde{U} = \cos(t)(1+\sin(t))[/mm]
>  
> Wie Du vorschlägst: Ableiten und 0 setzen...
>  
> [mm]0 \overset{!}{=} -\sin(t)(1+\sin(t))+\cos^2(t)[/mm]
>  
> [mm]0 \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos^2(t)-\sin^2(t)[/mm]
>  
> [mm]0 \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos(2t)[/mm]

Konnte ich nachvollziehen (Ableiten, Produktregel und umformen).

> Hier schlage ich Dir nun die Substitution u=2t vor mit [mm]u\in (0,\pi)[/mm]

Mit deinem Tipp Substitution komme ich allerdings leider nicht sehr weit.

Ich nehme an so, oder:
[mm] 0=-sin(\bruch{u}{2})*cos(u) [/mm]

Dann könnte ich höchstens noch das cos eliminieren bzw. ersetzen:

[mm] 0=-sin(\bruch{u}{2})*sin(u+\bruch{\pi}{2}) [/mm]

Da hat das Substituieren irgendwie nicht so viel gebracht. Statt t und 2t habe ich jetzt einfach [mm] \bruch{1}{2}*u [/mm] und u. Aber wahrscheinlich sehe ich nur das nicht, was ich schon lange wissen sollte ;-)

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Bezug
sin(x) nach x auflösen: Additionstheorem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mo 20.08.2007
Autor: Roadrunner

Hallo belimo!


Anstatt der genannten Substitution kannst Du für $0 \ = \ [mm] -\sin(t)+\cos(2t)$ [/mm] auch folgendes Additionstheorem verwenden:

[mm] $\cos(2t) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(t)$ [/mm]


Damit erhältst Du dann folgende Gleichung:  $0 \ = \ [mm] -\sin(t)+1-2*\sin^2(t)$ [/mm]

Wenn Du nun $z \ := \ [mm] \sin(t)$ [/mm] substituierst, hast Du eine quadratische Gleichung, die Du sicher lösen kannst (z.B. mit der MBp/q-Formel):

$0 \ = \ [mm] -z+1-2*z^2$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
sin(x) nach x auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 So 19.08.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

Streiche "sin" einfach weg und löse dann die entstandene Gleichung nach t auf.

Gruß
Reinhold

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