sin(nx) integrabel? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 26.03.2006 | | Autor: | Jacek |
Hallo liebe Leute,
ich habe die Frage ob sin(nx) integrabel ist.
Es gibt ja das Riemann Integral und das Lebesgue Integral, welches eine Verallgemeinerung des Riemann'schen Integrals ist.
Dennoch habe ich Probleme mit sin(nx). Ist es denn überhaupt integrabel?
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jacek!
> Hallo liebe Leute,
> ich habe die Frage ob sin(nx) integrabel ist.
> Es gibt ja das Riemann Integral und das Lebesgue Integral,
> welches eine Verallgemeinerung des Riemann'schen Integrals
> ist.
> Dennoch habe ich Probleme mit sin(nx). Ist es denn
> überhaupt integrabel?
In welchem Sinne integrabel? Und ueber welcher Menge, auf einem Intervall $[a, b]$, auf einem unbeschraenkten Intervall $[a, [mm] \infty)$ [/mm] oder [mm] $(-\infty, [/mm] b]$, oder auf ganz [mm] $\IR$?
[/mm]
Auf beschraenkten Intervallen ist die Funktion definitiv integrabel. Bei unbeschraenkten Intervallen muesste ich mir die Definition von integrabel nochmal anschauen um das beantworten zu koennen :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Mo 27.03.2006 | | Autor: | topotyp |
x -> sin(nx) ist doch stetig und beschränkt, daher
ist diese Funktion auf endlichen Intervallen sowohl L- als auch
R-integrierbar (und das Integral ist gleich).
Auf unendlichen Intervallen: Ist n=0, so ist diese Funktion integrierbar
weil sie null ist. Ist n nicht null, so ist sin(nx) eine periodische
Funktion, die nicht null ist, und daher wird bei einem unendlichen Integral
(Lesbesgue) stets immer sagen wir "periodischer Rest" bleiben, der
auch für grosse x nicht gegen null geht, also
ist die Funktion nicht integrierbar. Dasselbe gilt fürs uneigentliche Riemann-Integral über unbeschränkten Intervallen.
( Bem.: Natürlich ist sin(nx) ungerade, d.h. die Integralteile über entsprechenden Intervallen würden sich wegheben. Trotzdem ändert das nichts an der obigen Lösung, denn eine integrierbare Funktion ist auch immer über ein
Teilintervall integrierbar und das könnte man ja dann unssymetrisch wählen...)
|
|
|
|
