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Das Kongruenzsystem
$ [mm] x\equiv [/mm] 34 [mm] \mbox{mod } [/mm] 60 $
$ [mm] x\equiv [/mm] 14 [mm] \mbox{mod } [/mm] 50 $
$ [mm] x\equiv [/mm] 10 [mm] \mbox{mod } [/mm] 18 $
ist lösbar und die Lösung ist bis auf Vielfache von 900 eindeutig bestimmt. |
Nun weiß ich, dass die simultane Kongruenzen
$ [mm] x\equiv a_1 \mbox{mod } n_1 [/mm] $
$ [mm] x\equiv a_2 \mbox{mod } n_2 [/mm] $
genau dann lösbar sind, wenn
$ [mm] a_1 [/mm] - [mm] a_2 \equiv [/mm] 0 [mm] \mbox{ mod } ggT(n_1,n_2) [/mm] $
Die Lösung ist eindeutig modulo dem $ [mm] kgV(n_1,n_2) [/mm] $
Das trifft hier schon mal zu. Also ist die Kongruenz lösbar.
Ich bin mir aber unsicher, wie der Satz "die Lösung ist bis auf Vielfache von 900 eindeutig bestimmt" gemeint ist. Ist die Lösung $ 0 [mm] \equiv \mbox{mod } [/mm] 900 $ ?
Jetzt weiß ich aber auch, dass man die Kongruenz nicht "normal" nach dem chin. Restsatz lösen kann da $ [mm] ggT(n_1,n_2) \not= [/mm] 1 $. Wie muss man die Kongruenzen nun umformen, um die simultane Kongruenz lösen zu können?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn du das System lösen wolltest, könntest du jede Gleichung erst einmal mit dem Chinesischem Restsatz "aufblähen". Das heißt, dass du aus
$x [mm] \equiv [/mm] 34 [mm] \mod [/mm] 60$
erst einmal [mm] (60=2^2*3*5)
[/mm]
[mm] \vmat{ x \equiv 34 \mod 2^2 \\ x \equiv 34 \mod 3 \\ x \equiv 34 \mod 5 } \Leftrightarrow \vmat{ x \equiv 2 \mod 4 \\ x \equiv 1 \mod 3 \\ x \equiv 4 \mod 5 } [/mm] machst. Das gleiche mit den anderen 2 Ausgangsgleichungen. Dann hast du ganz viele Gleichungen, von denen du aber einige streichen kannst, weil, sie doppelt vorkommen. Und weil dabei keine Widersprüche entstehen sollten (z.B. wenn du $x [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \mod 2^2$ [/mm] und $x [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \mod 2^2$ [/mm] erhalten würdest) ist das Ding dann (eindeutig) lösbar modulo der ganzen teilerfremden Zahlen die du dann da vorliegen hast.
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