sigma operator < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Sa 05.03.2011 | | Autor: | blink23 |
| Aufgabe | Zeigen sie folgende Identität:
[mm] $$\sigma(\{A\subset \mathbb{N} : |A| < \infty \}) [/mm] = [mm] P(\mathbb{N})$$. [/mm] |
P sollte die Potenzmenge sein. Kann mir irgendwer eine Starhilfe geben?
Um die Gleichheit zu zeigen, muss man ja die Mengeninklusion in beide Richtungen machen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Sa 05.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen sie folgende Identität:
> [mm]\sigma(\{A\subset \mathbb{N} : |A| < \infty \}) = P(\mathbb{N})[/mm].
>
> P sollte die Potenzmenge sein. Kann mir irgendwer eine
> Starhilfe geben?
> Um die Gleichheit zu zeigen, muss man ja die
> Mengeninklusion in beide Richtungen machen, oder?
Ja. Die eine Richtung ist trivial, denn per Definition ist die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. [/mm]
Für die andere Richtung musst du zeigen, dass jede Teilmenge von [mm] $\IN$, [/mm] insbesondere auch [mm] $\IN$ [/mm] selber zur [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] gehört.
Viele Grüße
Rainer
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